一维磁性颗粒链内冲击波传播特性分析★

张霞　张明　冷鼎鑫（.青岛理工大学琴岛学院机电工程系，山东　青岛　6606；.一汽技术中心传动部，吉林　长春　0000；.中国海洋大学工程学院，山东　青岛　6600）



一维磁性颗粒链内冲击波传播特性分析★

张霞1张明2冷鼎鑫3
（1.青岛理工大学琴岛学院机电工程系，山东青岛266106；
2.一汽技术中心传动部，吉林长春130000；3.中国海洋大学工程学院，山东青岛266100）

摘要：针对衰减大型建筑结构受地震波冲击作用的动力响应问题，提出了一种基于磁性颗粒链的耗能装置，应用理论分析的方法，建立了其在冲击载荷作用下的动力学方程，依据Maxwell原理，计算了各颗粒间的磁场作用力，采用变步长Runge-Kutta算法，数值求解了颗粒链系统的运动方程，模拟研究了冲击波在一维磁性颗粒链中的传播及衰减特性，结果表明：入射的冲击波在颗粒链内出现了明显的波分散现象，并且随着磁场强度的增加，颗粒链的能量衰减特性提高。

关键词：磁性颗粒链，波传播特性，能量，磁场

★：中央高校基本科研业务费专项（项目编号：20153054）；中国博士后基金（项目编号：2015M582141）

大型建筑结构受地震波冲击作用，将遭受巨大的经济损失和严重的人员伤亡。如何能够有效地保护建筑物免受地震波破坏、设计有效的吸能结构耗散有害能量是近年来研究热点之一。其中，“能量捕获”被认为是一种行之有效的方法，其基本思路为：将外部冲击能量限制在一定区域内，降低从该区域输出的能量峰值且保证能量缓慢释放，从而保护关键结构免受破坏［1］。由文献［2］～［4］表明：一维复合颗粒链（即各颗粒的质量、形状、几何尺寸、材料特性等存在差异）可有效实现对外部载荷的“能量捕获”。基于拓扑优化及尺寸优化等方法，还可设计出理想的一维颗粒链系统，最大程度地降低冲击载荷峰值［5］。

最近，S-Valdez等学者［6］发现：对一维颗粒链施加磁场，入射的孤立波在其内部传播时，呈现了特殊的“空穴”传播现象。但是，此文仅通过实验手段对含有较少磁性颗粒数目的短颗粒链进行了研究。为了完整地描述一维磁性颗粒链内的冲击波传播特性，必须研究由数百个颗粒组成的长颗粒链系统，该研究结果可为三维颗粒链系统的工程应用提供理论参考。

1　计算模型

图1　一维磁性颗粒链在冲击载荷作用下的力学模型

一维均质磁性颗粒链在冲击载荷作用下的力学模型如图1所示。各颗粒的质量为m，直径为Dpr。距离颗粒链尾端x*处，施加一个磁场源，其场强为H。出于计算成本的考虑，颗粒链内的颗粒数目取为1 000，即N =1 000。

基于Hertz作用势可计算相邻颗粒间的相互作用力，由此可得第i个颗粒的动力学方程为［7］：

其中，ui和ui +1分别表示第i个颗粒和第i +1个颗粒的偏离初始平衡位置的位移；下标“+”表示当两个颗粒失去接触后，其相互作用力将瞬时减为0；k为颗粒的弹性系数，其与颗粒的弹性模量E，泊松比μ及直径Dpr有关。

式（1）中的Fmi为第i个颗粒的磁场力，基于Maxwell原理，可计算得［7］：其中，Vpr为颗粒体积；S1，S2均为磁性系数，分别为：

以上通过解析方法计算的颗粒磁场力与Harpavat学者通过实验方法测得的磁场力结果一致［8］，确保了理论推导的准确性。式（1）中的Δi为第i个颗粒与第i +1个颗粒之间的磁致压缩量。

如图1所示，在初始时刻（t =0）时，对标号为1的颗粒赋予初速度v0，其余各颗粒均处于静止状态。此颗粒链系统的边界条件为：固定第N个颗粒的位移及速度值始终为0。即式（1）的初始和边界条件为：

在数值计算中，设定均质磁性颗粒的直径为0.2 mm，弹性模量为210 GPa，泊松比为0.3，密度为7 800 kg/m3。定义入射冲击波的初速度为10 m/s，磁场源与颗粒链尾端的距离，x*=30 cm，计算磁场强度分别为2 000 Guass及10 000 Guass下的动力学响应。应用变步长的4～5阶Runge-Kutta算法求解颗粒链系统的动力学方程，研究冲击波在颗粒链内的传播及衰减特性。

2　模拟结果与讨论

首先，分析冲击波在一维磁性颗粒链中的传播过程。如图2所示为冲击波分别传播至第100个，第500个，第900个颗粒时，系统内各颗粒的位移分布图。

由图2可知：随着冲击波在颗粒链内传播，颗粒的位移幅值保持不变。当冲击波传播至颗粒链尾端时，颗粒与磁场源的距离减少，其所受磁场力增大，颗粒的位移梯度变化增大。

一维磁性颗粒链的能量衰减特性可通过能量衰减系数W来衡量：

其中，Ein与Eout分别为外载荷入射及离开颗粒链系统的能量。W在2 000 Guass及10 000 Guass磁场强度下分别取0.08和0.02。由此可知：与入射冲击波能量相比，从磁性颗粒链尾端输出的能量明显减小。即磁性颗粒链系统能够很好地衰减外部的冲击载荷。

图2　冲击波传播至颗粒100，500，900时各颗粒的位移分布关系

3　结语

本文通过数值模拟的方法，分析了冲击波在一维磁性颗粒链中的传播过程及颗粒链系统的能量衰减特性。模拟结果表明：当冲击波传播至颗粒链尾端时，颗粒的位移梯度变化增大。颗粒链在磁场作用下可明显衰减外部的冲击载荷。该研究结果可为新型缓冲耗能器件的开发提供了重要的参考依据。

参考文献：

［1］王建平，夏继宏，刘长松，等.一维复合颗粒链中能量衰减的动力学分析［J］.物理学报，2011，60（1）：13-14.

［2］黄德财，陈伟中，杨安娜，等.孤立波在一维复合颗粒链中传播特性的模拟研究［J］.物理学报，2014，63（15）：107-114.

［3］C.Daraio，V.F.Nesterenko，E.B.Herbold，et al.Tunability of solitary wave properties in one-dimensional strongly nonlinear phononic crystals［J］.Physical Review E，2006（73）：26-61.

［4］R.L.Doney，J.H.Gui，S.Sen.Energy partitioning and impulse dispersion in the decorated，tapered，strongly nonlinear granular alignment：A system with many potential applications［J］.Journal of Applied Physics，2009（106）：71-73.

［5］F.Fraternali，M.A.Porter，C.Daraio.Optimal design of composite granular protector［J］.Mechanics of Advanced Materials and Structures，2009，17（1）：1-19.

［6］F.J.S-Valdez，F.P-Vazquez，O.Carvente，et al.Acoustic gaps in a chain of magnetic spheres［J］.Physical Review E，2010 （81）：11-31.

［7］黄德财，冯耀东，解为梅，等.颗粒密度对旋转筒内二元颗粒体系分离的影响［J］.物理学报，2012，61（12）：24-50.

［8］G.Harpavat.Magnetostatic forces on a chain of spherical beads in a non-uniform magnetic field［J］.Magnetics，IEEE Transactions on，1974，10（3）：919-922.

中图分类号：O302

文献标识码：A

文章编号：1009-6825（2016）06-0036-03

收稿日期：2015-12-16

作者简介：张霞（1959-），女，副教授

The impact wave propagation characteristics in one-dimensional magnetic granular chain★

Zhang Xia1Zhang Ming2Leng Dingxin3
（1.Department of Mechanical and Electrical Engineering，Qingdao Technological University，Qindao College，Qingdao 266106，China；
2.Transmission Section，China Faw Group Corporation R&D Center，Changchun 130000，China；
3.Department of Mechanical Engineering，Ocean University of China，Qingdao 266100，China）

Abstract：Aiming at attenuating earthquake to the structure，the energy absorber of magnetic granular chain is proposed.By theoretical method，the dynamic equations of the one-dimensional magnetic granular chain are established.The magnetic force of each magnetic particle is calculated by Maxwell theory.The dynamic equations are solved by variable-step Runge-Kutta algorithm.The wave propagation characteristics and the energy decay capacities in magnetic granular chain are investigated.The results show that the incident wave is intermediately transferred into a series of waves in small-amplitude.Additionally，the energy decay capacities of the magnetic granular chain are enhanced with the increasing magnetic field strength.

Key words：magnetic granular chain，wave propagation characteristics，energy，magnetic field