四面体存在外接球及其半径的应用

邓建祥

摘 要：高考数学中四面体的外接球问题始终是学生学习及教师教学中的一个难点问题，其主要难点集中在四面体的多样性上，但同时中学数学中的四面体往往具有一定的特殊性。数学家波利亚说过：“求解立体几何问题往往有赖于平面几何的类比。”由于三角形是平面中最简单的多边形，四面体是空间中最简单的多面体，因此，可以从三角形的外接圆类比推广四面体的外接球，并利用中学数学中四面体的特殊性简化外接圆半径公式，从而将此类问题由特殊求解过程转化为一般求解过程。

关键词：四面体；外接球；半径公式

众所周知，任意一个三角形都存在外接圆。由于三角形和四面体分别在二维空间和三维空间中具有同等的地位，因此，我们可以类比得到：任意四面体都存在外接球。但通过这样的类比得到的也只是一个猜想，要验证这一猜想的正确性，就要对其进行证明。

一、任意四面体都有外接球

二、四面体外接球的半径

三、特殊四面体外接球半径的应用

评述：通过上面四个例题我们可以发现，在解决这一类具有特殊性的四面体外接球问题的时候，很好的避免了常规解法中的各种变化以及一些技巧性的构图，而这恰恰是学生在解决该类问题时的难点所在。通过对于该类问题的公式化，能够使学生比较快速和简洁的解决该类问题，同时对数学中的一些复杂问题进行一般到特殊再导出公式最后回归到基本问题的逐步分解，以达到更为直观的理解与应用的效果。

参考文献：

1.陈金辉.四面体的求积公式[J].数学通报，1985（3）.

2.李湘江.四面体的“三球”的半径公式[J].数学通讯，2013（1）.