几乎恰当链环

赵　岩李　丽,鲁　哲

(1. 渤海大学 数理学院, 辽宁 锦州 121013； 2. 法库县东湖第三初级中学，辽宁 沈阳 110402)



几乎恰当链环

赵岩*,1,李丽1,鲁哲2

(1. 渤海大学 数理学院, 辽宁 锦州 121013； 2. 法库县东湖第三初级中学，辽宁 沈阳 110402)

摘要：定义了几乎恰当链环，给出了几乎恰当链环与其镜面像之间的关系；利用状态链的方法证明了A-几乎恰当链环的Kauffman尖括号多项式的最高次幂以及B-几乎恰当链环的最低次幂的表达式.

关键词：投影图； 状态多项式； Kauffman多项式； 镜面像

0引言

1988年，为了进一步推广交错链环的结果和性质，W.B.R.Lickorish 和 M.B.Thistlethwaite 在文献〔1〕中提出了恰当链环的定义，在文献〔2〕中给出了恰当链环的多项式的宽度的估计，这是一类包括交错链环在内的一种更为广泛的链环种类.与此同时，一些作者开始研究恰当链环的各类性质，包括它的Jones 多项式的研究，尖括号多项式宽度的估计，与链环亏格之间的关系等方面.

本文提出了一种类恰当链环，称之为几乎恰当链环，对这类链环的性质在第一部分进行了说明，在第二部分，主要讨论了A-几乎恰当链环的Kauffman多项式问题，得到了如下结论：

L是一个几乎A-恰当的链环，D是L的一个几乎A-恰当的投影图,c(D)是L的交叉点数，假设P是几乎恰当点，s是不同于SA的另一个状态,SA=s0,s1,…,sk=s是SA与s之间的状态链，则

(1) 如对于任意的2≤r≤k，|sr|=|sr-1|+1，当k为偶数时，〈s〉中A的最高次幂是c(D)+2|SA|-2; 当k为奇数时,〈s〉中A的最高次幂是c(D)+2|SA|-6.

(2) 如对于任意的2≤r≤k，|sr|=|sr-1|-1，〈s〉中A的最高次幂是c(D)+2|SA|-6.

1预备知识

L是S3中的一个链环，D是L的一个投影图，P是投影图D上的一交叉点，那么交叉点P有两种打开方式，分别称为A-打开和B-打开，如图1.

当把D上的每个交叉点都按照这两种方式中的某一种打开，我们得到了链环L的一个Kauffman状态〔3-6〕, 当所有的交叉点都按照A-打开方式打开，称得到的Kauffman 状态是全A状态，记为SA, 同样的方式定义SB, 称为全B状态. 当得到状态SA(SB)时，对于每个交叉点处，沿A(B)打开得到的两个分支在新的图中总是属于不同的分支，则称投影图D是A(B)-恰当的.

假设P是投影图D中的一个交叉点，在P点沿A打开得到的两段弧如果属于同一分支，这里有两种情况：

第一种情况下，把沿A-打开变为沿B-打开，得到的两段弧属于新的状态的不同分支，而第二种状态，当其他的交叉点都打开，只剩交叉点P的时候，这种情况是不能发生的.因此可以定义：

定义1.1假设D是一个链环的投影图，如果D不是A-恰当的，但是当我们把某一点P处的打开方式由A-打开变为B-打开时，得到的状态是恰当的，则称D是几乎A-恰当的，称P是几乎恰当点.同理可以定义D是几乎B-恰当的.

定义1.2如果一个链环L没有A-恰当的投影图，但是L有一个几乎A-恰当的投影图，称L是几乎A-恰当链环，同理有几乎B-恰当链环.

由定义1.2，我们知道

命题1.3K*是K的镜面像，如果K是几乎A-恰当的，那么K*是几乎B-恰当的.

定义1.4如果一个链环L既是几乎A-恰当的，又是几乎B-恰当的，则称L是一个几乎恰当链环.

假设D是链环L的投影图，c1,c2,…,cn是D的n个交叉点，D的一个Kauffman 状态实际上就是一个函数s:{1,2,…,n}→{-1,1}，如果某一交叉点i沿A打开，s(i)=1；如果某一交叉点沿B打开，s(i)=-1.令sD表示D的一个状态，用|sD|表示这一状态的分支数，那么sD的Kauffman多项式是〈sD〉=A∑s(i)(-A-2-A2)|sD|-1，假设S(D)表示投影图D的所有状态，则D的Kauffman多项式是∑sD∈S(D)A∑s(i)(-A-2-A2)|sD|-1.

2主要结果

D是链环L的一个投影图，s是不同于SA的另一个状态，那么在SA与s之间有一个状态链SA=s0,s1,…sk=s，对于任意两个相邻的状态sr-1,sr只在某一点处的打开方式不同.当我们选择L是几乎恰当链环时，有如下结果成立.

定理2.1 L是一个几乎A-恰当的链环，D是L的一个几乎A-恰当的投影图,c(D)是L的交叉点数，假设P是几乎恰当点.s是不同于SA的另一个状态,SA=s0,s1,…,sk=s是SA与s之间的状态链，则

(1) 如对于任意的2≤r≤k，|sr|=|sr-1|+1，当k为偶数时，〈s〉中A的最高次幂是c(D)+2|SA|-2;当k为奇数时，〈s〉中A的最高次幂是c(D)+2|SA|-6.

(2)如对于任意的2≤r≤k,|sr|=|sr-1|-1,〈s〉中A的最高次幂是c(D)+2|SA|-6

证明D的全A状态的Kauffman多项式是Ac(D)(-A-2-A2)|SA|-1,〈SA〉中A的最高次幂项是(-1)|SA|-1Ac(D)+2|SA|-2.

当我们由SA得到s1时，把某一交叉点P处的打开方式由A-打开变为B-打开时，有两种可能：

(i)P是几乎恰当点，则s1是恰当的，并且〈s1〉=Ac(D)-2(-A-2-A2)|sD1|-1,因为P是几乎恰当点，所以|s1|=|SA|+1,〈s1〉=Ac(D)-2(-A-2-A2)|SA|,〈s1〉中A的最高次幂项是(-1)|SA|Ac(D)+2|SA|-2,与〈SA〉中A的最高次幂项相互抵消.

(ii) P不是几乎恰当点，|s1|=|SA|-1，所以〈s1〉=Ac(D)-2(-A-2-A2)|SA|-2，A的最高次幂项是(-1)|SA|-2Ac(D)+2|SA|-6,到此为止，〈s1〉中A的最高次幂项是(-1)|SA|-2Ac(D)+2|SA|-6.

当2≤r≤k，|sr|=|sr-1|+1,所以|sr|=|SA|+r，而∑s(i)=c(D)-2r，状态sr的Kauffman多项式中，A的最高次幂是c(D)-2r+2(|SA|+r)-2=c(D)+2|SA|-2,并且系数是+1与-1相互交替，含有A的最高次幂的项数是k-1，所以，k为奇数时，含有最高次幂的项相互抵消，〈s〉中A的最高次幂是c(D)+2|SA|-6.这样我们证明了 (1)成立.

当2≤r≤k时，如果有|sr|=|sr-1|-1，所以|sr|=|s1|-r+1，当|s1|=|SA|+1,状态的Kauffman多项式中，A的最高次幂是c(D)-2r+2(|SA|-r+2)-2=c(D)-2|SA|-4r+2,当r=2时最大，是c(D)+2|SA|-6；当|s1|=|SA|-1,|sr| =|s1|-r+1=|SA|-r, 所以〈s〉中A的最高次幂是c(D)-2r+2(|SA|-r)-2=c(D)-2|SA|-4r-2,当r=2时最大，是c(D)+2|SA|-10. (2)得证.

推论2.2L是一个几乎A-恰当的链环，D是L的一个几乎A-恰当的投影图,c(D)是L的交叉点数，假设P是几乎恰当点.s是不同于SA的另一个状态,SA=s0,s1,…,sk=s是SA与s之间的状态链，则

(1)如对于任意的2≤r≤k，|sr|=|sr-1|+1，当c(D)为偶数时，〈D〉中A的最高次幂是c(D)+2|SA|-2,当c(D)为奇数时，〈D〉中A的最高次幂是c(D)+2|SA|-6.

(2)如对于任意的2≤r≤k，|sr|=|sr-1|-1, 〈D〉中A的最高次幂是c(D)+2|SA|-6.

由命题1.3知, 如果L是一个几乎B-恰当的链环，那么L*是几乎A-恰当的链环, 故有如下结论：

推论2.3L是一个几乎B-恰当的链环，D是L的一个几乎B-恰当的投影图,c(D)是L的交叉点数，假设P是几乎恰当点.s是不同于SB的另一个状态,SB=s0,s1,…，sk=s是SB与s之间的状态链，则

(1) 如对于任意的2≤r≤k，|sr|=|sr-1|+1，当c(D)为偶数时，〈D〉中A的最低次幂是-c(D)-2|SB|+2;当c(D)为奇数时，〈D〉中A的最低次幂是-c(D)-2|SB|+6.

(2) 如对于任意的2≤r≤k，|sr|=|sr-1|-1 , 〈D〉中A的最低次幂是-c(D)-2|SB|+6.

参考文献:

〔1〕Lickorish W B R， THISTLETHWAITE M B. Some links with non-trivial polynomials and their crossing-numbers〔J〕. Comment. Math. Helv., 1988， 63(4): 527-539.

〔2〕THISTLETHEWAITE M B. On the Kauffman polynomial of an adequate link〔J〕. Invent Math, 1988， 93(2): 285-296.

〔3〕KAUFFMAN L H. State models and the Jones polynomial〔J〕. Topology, 1987， 26(3): 395-407.

〔4〕MORTON H R. Seifert circles and knot polynomials〔J〕. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1986， 99(1): 107-109.

〔5〕MURASUGI K. Jones polynomials and classical conjectures in knot theory〔J〕. Topology, 1987， 26(2): 187-194.

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〔8〕赵岩. Hopf-链环的一种性质〔J〕. 浙江大学学报(理学版)， 2009， 36(5): 501-502.

〔9〕赵岩，李丽，李风铃. 道路同伦映射的分块构造〔J〕.渤海大学学报(自然科学版)， 2011， 32(3): 199-202.

Almost adequate link

ZHAO Yan1, LI Li1，LU Zhe2

(1. College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou 121013, China;2. Faku East Lake third junior middle school, shenyang 110402, China)

Abstract：In this paper, a new class of links is given, which is called almost adequate link, in the first part, the conclusion is drawn: if a link K is almost A-adequate, then, the mirror image of K is almost B-adequate; the second part, by using the state links, the main result is provided: the highest degree in the Kauffman polynomial of almost A-adequate links and the lowest degree in the Kauffman polynomial of almost B-adequate links .

Key words：diagram； state polynomial； Kauffman polynomial； the mirror image

收稿日期：2015-02-06.

基金项目：辽宁省教育厅项目(No:L2015012).

作者简介：赵岩( 1979 -)，女，讲师，大连理工大学博士研究生，主要从事拓扑学和几何方面的教学科研工作．

通讯作者：zhaoyan-jinzh@163.com.

中图分类号：O189.11

文献标志码：A

文章编号：1673-0569(2016)01-0015-04