论高中导数几何意义问题的盲点与误区

齐艳秋

导数是高等数学一部分，为生产、生活及学术研究提供了方便快捷的途径。高中阶段导数要求较低，部分易错点未作特殊强调说明；例题简单，如果不做深入细致研究，肤浅认识与想当然的局限会对某些问题产生错觉与误解。

曲线的切线问题，是研究曲线性质的重要方面，也是高考常考内容。一部分人对曲线切线的内涵与性质往往把握不够准确，对解决这类问题的方法不明晰，从而对该问题产生感官和求解方法论的错误。

一、混淆“在一点处的切线”与“过一点的切线”

“在一点处的切线”是指以该点为切点的切线，该点一定在曲线上，切线只有一条。直接由在该点的导数值确定切线斜率，进而求出此切线方程。而“过一点的切线”，该点不一定是切点。只有确定了切点，才能利用导数法求斜率，再求切线方程，切线可能不唯一。

二、求过一点的曲线切线在方法论上的错误

这个问题的错误最为严重。人民大学主办的《高中数学教与学》2010年第1期，《关于曲线的切线问题的探索》一文，笔者认为“已知一点，求过该点的曲线切线时，先判断这个点是否在曲线上：若不在曲线上，设出切点坐标；若在曲线上，就直接用导数法求出该点的切线斜率。”并以两道例题及变式为例加以说明。在多年教学实践中，发现部分教师、各类习题材料，犯此错误比比皆是。事实上即使给定的点在曲线上，该点也不一定是切点，要分该点是切点和不是切点两种情况求解。举个典型例子，来说明其错误。

求曲线y= x3过点P（1，1）的切线方程。P点在曲线上，要分类讨论。当P是切点时，利用导数法得切线斜率k=y′│x=1=3x2│x=1=3 ，切线方程为y-1=3（x-1）即3x-y-2=0；当P不是切点时，设切点为A（x0，x03）（x0 1），则切线斜率k=3 x02。又P点和A点都在切线上， k= 。所以3 x02= 解得x0=- （x0=1舍）。此时 k= ，切线方程为y-1= （x-1）即3x-4y+1=0。综上，所求切线方程为：3x-y-2=0或3x-4y+1=0。由此看出，虽然P点在曲线y= x3上，但过P点的切线不一定是以P为切点。若按照教材和上论文方法论进行求解，会丢失第二组解。可见，没有一定的数学专业素养，又不进行深入细微的教学研究，狭义片面的认识会造成想当然的错误。

我觉得，此类错误如此广泛的普遍存在，与教材说明的简浅及配备例题的误导有直接关系。人教B版教材选修2—2第1. 1.3节中，例1：求抛物线y= x2过点（1，1）的切线的斜率；例2：求双曲线y= 过点（2， ）的切线方程。由于给定点都在曲线上，教材直接把已知点当成切点来求解，解题过程不够完备。但由于两例题给定的曲线是二次曲线，而过二次曲线上一点作切线有且只有一条，所以教材所得到的最终结果却是正确的，并无丟解现象。但“过二次曲线上一点只有一条切线”这一论点，教材并没有进行论证。所以看似正确的答案却有一个不完整的过程。我认为教材的解题过程有待完备：要么证明上论题，要么进行分类讨论 （不是切点时无解） 。教材例题，无疑给部分学者造成错觉，遇到复杂曲线的切线，可能会犯丢失解的错误。当然求二次曲线的切线，还可以利用解析法求解，在此不作以说明。

三、曲线切线在“形态”上易产生的错觉

学过圆锥曲线与直线关系，学生对曲线的切线有了初步了解與感受。从图形直观上看，曲线在一点处的切线与曲线呈现“相切”状态。而面对诸如y= x3在（0，0）处的切线等问题时往往感觉不理解。按照导数法求出切线斜率为y′│x=0=3x2│x=0=0，切线方程为y=0，即x轴。从图像上看（图1），所求切线穿过曲线，在感官上似相交状态。这种错觉，有人会怀疑其求法及结果。而从曲线切线的定义想该问题，便容易理解并找到此切线。 “曲线在一点处的切线”定义：“设y=f（x），AB是过点A（ x0 ，f（x0））与B（x0+△x，f（x0+△x））的一条割线，当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD时，直线AD叫做此曲线在点A的切线。”y= x3的割线OA，当A趋向O点时，OA的最终位置为x轴，所以x轴就是曲线在（0，0）处的切线，与上导数法求解的结果是一致的。另外，幂函数y= x1/3在（0，0）处的切线，导数在x=0处无意义，有人会认为切线不存在。而事实上，此时切线无斜率，方程为x=0，即y轴。利用上定义，不难得出（图2）。

由上述例子可见，曲线在一点处的切线，可以在该切点处“穿过”曲线，呈现“相交”形态。学生要突破以往切线与曲线“相切”的观念，将视角拓展到新的层面上来。而教师也不应把教学局限在教材范围内，要将此类问题的盲点与误区呈现给学生，以免造成学生在观念上的错觉与误解。还有y= x3过（1，1）点的切线、正余弦曲线等复杂曲线的切线，既可以穿过曲线，又可以与曲线有多个交点。此类问题2007年湖南高考题中曾出现过。

作为教师，不能为了考试而教学，要让学生多见识些，多体会些，真正做到活学活用。愿此文能给一部分学者以启示，不要再将以上错误带给学生。让“导数”成为我们解决各类问题的利剑，让数学真正走进我们的生活。