关注四性，与“归类”寻实效——提高学生数学思维能力的策略研究

（萧山区北干初级中学，浙江 杭州 311203）

新课改有效地改变了传统教学束缚学生思维发展的旧模式，致力于打造关注学生学习的高效新课堂,为了让学生学得高效，教师需提高自身的专业素质,探索有效的教学方法——“归类“教学，培养学生的数学思维能力。针对目前学生的现状，笔者从课堂教学的一道改编题来具体分析：

【习题呈现】：

抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x

如左图所示，过点D作x轴的平行线交抛物线对称轴于点F,交直线PQ于点G，易证△FCD∽△GDE若DCE=30°，则所以1

△GDE与△FCD的相似比为故因为△BFD∽△BC Q，所以化简得所以点P的横坐标为将其代入到抛物线的解析式中可得纵坐标为若∠DEC=30°，解法与上述方法一致。再根据图形的对称性可得到对称轴左边的还有符合条件的两个P点。

【分析】为什么只有个别学生会解这道题？而且学生的方法并不是解这类题目最简便、最有效的。笔者分析主要有三个原因：一、学生对知识点不熟悉，不能对相关知识点产生联想。二、缺乏知识综合运用能力和推理演绎能力。三、缺乏数学思维能力，平时不注重总结归纳。针对上述学生存在的问题，作为老师应该有意识地对知识点、运用数学方法加以引导。如：1、让学生回忆圆内接四边形的对角的数量关系；2、观察本题中四边形DCQE相对两个内角的数量关系；3、从而得出D、C、Q、E四点共圆。所以，这道题又有新解法：

如右图所示，因为四边形CQED的内角和为360°，已知∠CDE=∠CQE=90°，所以∠CQE+∠CDE=180°.由CE弦所对两侧的圆周角之和等于 180°，可得 C、D、E、Q 四点共圆.根据同弧所对的圆周角相等，所以∠CQD=∠CED.因为△CDE是含有30°角的直角三角形，且∠CDE=90°，所以∠CED=30°或∠DCE=30°.①当∠CED=30°时，则∠CQD=30°，在直角△BCQ中，由已知可得BC=5，所以.故P点横坐标为因为P点在抛物线上，其坐标满足抛物线解析式，把代入解析式可得纵坐标为所以 P点坐标为②当∠DCE=30°时，则∠CQD=∠CED=60°，解法与上同，此时P.由图形的对称性，当点P在对称轴左侧时。综上所述，满足条件的P点坐标为（

讲解完后，学生恍然大悟，都觉得利用辅助圆解题很方便。事实上有些题目看似与圆无关，但用共圆的方法解决能够避开繁琐计算，取得最简便、最有效的方法。因此，必须让学生掌握这类题目的解法。可是什么时候要用到共圆呢？最有效的方法就是运用“归类”教学法，举一反三，以提高学生的数学思维能力，让学生触类旁通做到解一题会一类，真正地提高课堂效率，减轻学生负担。十多年的教学经验告诉笔者，归类教学对于提升数学学习效率效果显著，但因为时间和精力的原因，很多时候还是就题论题，所以我希望通过“归类共圆”的数学方法展开，谈谈我对归类教学的看法。设 GE=a，DG=b，则轴交于点C.点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q.若一块含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，则点P的坐标为___。

在给予学生充分的思考后，全班只有个别学生答对了这道题，而且方法比较复杂：通过设两个未知数、用三角形相似、整体代入等，计算过程还带有一定的技巧性。学生思考如下：

一、归类教学，关注选题的针对性,提高学生逆向思维的能力

设计选题前必须充分考虑预选习题能否加深学生对概念的理解和掌握，或是对错误认识的纠正，还是对基本解题技能的进一步熟练等。这就要求教师在选题时要有针对性、目的性。要非常了解学生对知识点的掌握程度，哪些地方掌握得好，哪些地方还存在问题。比如圆的内容，所选的题目最好看似与圆无关，而是让学生提炼出共圆的方法。也就是说，看似无圆，但事实上隐含着圆，而这个隐身圆就需要学生们去发现。举例来说：

1.解决有关直角问题

例1：点A、B是平面直角坐标系内的两个点，且 A（2,4），B（6,2），P 是 x 轴上一点，且△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有几个（ ）

（A）1 （B）2 （C）3（D）4

【解析】：△ABP为直角三角形，根据直角顶点分类讨论.易知满足∠PAB=90°的点P有1个；满足∠PBA=90°的点P有1个；根据直径所对的圆周角是90°，满足∠APB=90°的点P在以AB为直径的圆上.因此，只须判断圆与x轴的位置关系.由已知A（2,4）、B(6,2)易得圆的半径圆心到x轴的距离d=3.由d＜r可知圆与x轴相交.所以满足∠APB=90°的点P有2个.综上所述，满足条件的P点共有4个。

【说明】：由上题的启发，学生容易联想到圆，而且圆中很重要的结论“直径所对的圆周角是90°”，从而点P在以AB为直径的圆上。因此很自然得转化为判断直线与圆的位置关系。

2.解决有关锐角问题

例2：如图，向正方形ABCD内投一点M，如果正方形内每一点投中的可能性均相同，则使∠AMB为锐角的概率是多少。

【解析】：因为∠AMB为锐角，即∠AMB＜90°，易知使∠AMB=90°的点M在以AB为直径的圆上.因为小于圆周角的点在圆外，所以所有满足条件的点M构成的图形面积为正方形的面积减去半圆的面积。假设正方形边长为1，则正方形面积为1，半圆面积为

【说明】：由“直径所对圆周角等于90°”，结合圆外角和圆周角的大小关系，学生还是可以通过辅助圆来解决问题。

3.解决有关钝角问题

例3：如图，正方形ABCD的中心为O，P为正方形内一点，若∠OPB=45°,求∠APO的度数。

【解析】：因为O是正方形ABCD的中心，连结OB后，∠AOB＝90°，且∠OAB＝45°与已知∠OPB＝45°相等，可以利用共圆的方法，构造以AB为直径的圆，易得∠APB＝90°，所以∠APO＝90°+45°＝135°。

【说明】：由“90度的圆周角所对的弦是直径”和“直径所对圆周角等于90°”可以很容易的解出此题。

这些例题可以让学生归纳总结出异侧共圆的情形：

除上面这个常见的“共圆”类型外，还有另外一种类型，笔者称它为同侧共圆：

二、归类教学，关注选题的层次性，提高学生逻辑思维能力

习题的选择难度要适中，要有梯度。若一开始就太难，容易使学生产生畏惧情绪，做而生烦；若都很容易，太过于浅，又会让学生产生松懈怠慢心理，也不利于个性思维品质的培养。因此，设计的问题一定要由浅入深、层层递进。比如：刚开始笔者先出示这样两个问题：

1.题设中有公共端点的等线段

例 4：如图，在△ABC内有一点 P且PA=PB=PC，若∠PBC=50°∠PBA=30°，则∠APC的大小是（ ）

（A）140°（B）160°（C）80° (D)120°

【解析】：因为PA=PB=PC，所以点A、B、C在以P为圆心、PA长为半径的圆上.∠ABC=50°+30°=80°，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍关系，∠APC=2∠ABC=160°。

【说明】：已知条件与圆的联系很明显，“到一个定点的距离等于定长的点在以这个定点为圆心、定长为半径的圆上”几乎所有的学生都容易想到，这也是圆的定义。

2.一条线段同侧的两个角成倍半关系

例 5：如图，若 CA=CB，∠ACB=2∠ADB.BC 与AD 交于点 E，且 CB=10，CE=6，则 AE·DE=()

(A)32 (B)48 (C)64 (D)68

【解析】：∠ACB和∠ADB在线段AB同侧，且∠ACB=2∠ADB，CA=CB，根据同弧所对圆心角等于圆周角的两倍可知点A、B、D在以点C为圆心，CA长为半径的圆上.延长BC交圆于点 F，连结 AF，那么有∠AFB=∠ADB、∠FAD=∠DBF，故△FAE∽△DBE，所以。由已知 CB=10，CE=6易得 BE=4，EF=16，故 AE·DE=BE·EF=4×16=64。

【说明】：由上一例题得到启发，学生容易联想到“同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍”。因此∠ACB为圆心角，∠ADB为圆周角，故可以构造以C圆心，CA长为半径的圆。

3.一条线段同侧的张角不变

例6：如图，平面直角坐标系中，直线与直线x=3,于点P，点A是直线x=3与x轴的交点.将直线OP绕着点O、直线AP绕着点A以相同的速度逆时针方向旋转.旋转过程中，两条直线交点始终为P，当直线OP与y轴正半轴重合时，两条直线同时停止转动.整个旋转过程中，点P所经过的路线长为______。

【解析】：由旋转的性质可得∠OPA始终为60°，过点O、A、P三点作圆，因为∠OAP=90°,根据“90°的圆周角所对的弦是直径”可得OP为该圆的直径.当直线OP与y轴正半轴重合时，旋转过的角度为60°，故点P所走过的弧长所对的圆心角为120°，根据弧长公式可得。

【说明】：本题中∠OPA始终为60°角这个结论很多学生并不能得出，需要作出旋转后的某个点P，与旋转前的图形比较得到。因此这是一个难点，也就要求学生要学会综合运用，要有较强的分析问题的能力。但可以肯定的是，这样的问题如果学生能自己解决，那一定能够提高他的自信心和学数学的兴趣。

三、归类教学，关注题目的可变性,培养学生探究猜想的思维能力

题目的变式、引申可以有以下几类：1、题目背景、结论不变，变换部分条件；2、题目背景、条件不变，变换结论；3、改变题目背景以及结论，但知识点或方法不变。应用到“归类”教学，我们可以尝试解决问题：

1.求两个共斜边直角三角形在公共边异侧时的重心距离

例7：我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这个点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如有关线段比、面积比就有一些“漂亮”的结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请解答下列问题：将两块三角尺按如图方式拼好，其中∠B=∠D=90°,∠ACD=30°,∠ACB=45°,AC=12,点E,F分别是和的重心，求EF的长。

【解析】：因为∠B=∠D=90°,所以A,B,C,D四点在AC为直径的圆上，如右图所示，记圆心为点O，连接OD,OB,DB,EF,由重心的性质可知，，所以即问题转化为求DB的长度。作ANDB，有同弧所对的圆周角相等可知，在RtΔADN中由勾股可得，由已知易得∠NAB=60°，在Rt ΔABN中由30度角三边关系可得,所以，从而。

以例7为原型，笔者对题目做适当变形，使例题八符合背景不变，条件改变，求结论。重置条件后，可以让学生动动脑子，稍稍转下弯，看学生有没有真正掌握。这样学生才不会松懈怠慢，也能时时体验成功的快乐。变式如下：

2.求两个共斜边直角三角形在公共边同侧时的重心距离

例8：将两块三角尺按如图方式拼好，其中 ∠B=∠D=90° ,∠ACD=30° ，∠ACB=45°，AC=12,点 E,F 分别是 ΔACD和ΔABC的重心，求EF的长。

解析：因为∠B=∠D=90°,所以A,B,C,D四点在AC为直径的圆上，如图所示，记圆心为点O，连接OD,OB,DB,EF,由重心的性质可知，所以，即问题转化为求DB的长度。作AN ⊥DB，因 为 ∠ACB+∠ADB=180° ,∠ADN+∠ADB=180°,所以∠ADN=∠ACB=45°,有同弧所对的圆周角相等可∠NBD=∠ACD=30°,又因为，在Rt ΔADN 中由勾股可得,在Rt ΔABN中由勾股可得,所以，从而。

例8是在例七基础上的变式，他们既有联系，又有区别，形别而神同，主要是为了让学生体会辅助圆解题的便捷，让学生在以后的解题中能想到这种方法——添加辅助圆。

四、归类教学，关注题型的发散性，培养综合分析能力

上述例题图形简单，涉及的条件、结论也比较单一，学生比较容易掌握。当孩子自己归纳出辅助圆的方法后，就可以应用在比较复杂的题目中。所以接下来的练习会选择的图形比较复杂多样，问题也都各不相同，而且也基本涵盖了用辅助圆解决的题目特点。

1.解决有关等腰三角形问题

例9：如图，矩形ABCD中，，点E是折线段A—D—C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点.在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ）。

（A）5个（B）4个（C）3个（D）2个

【解析】：一个P点对应着一个E点，一个E点对应着一个P点，所以只须找出有几个符合条件的点P.根据折叠的性质可得BP=BA，所以点P一定在以B为圆心、BA长为半径的⊙B上.又因为点E折线段A—D—C上，故点P在如图所示的半圆上.因为BP=2、要使PCB为等腰三角形只可能PB=PC、CB=CP两种情况.PB=PC时，点P在线段BC的中垂线上，该线与⊙B有2个交点，所以存在2个P点使PB=PC；当CB=CP时，点P一定在以C为圆心、CB长为半径的⊙C上，⊙C与⊙B有2个交点，故存在2个P点使CB=CP.综上所述，共有4个满足题意的点P，所以点E的位置有4个。

【说明】：在找等腰三角形时往往需要对顶点进行分类，当已知的两点构成的线段为腰时都可以通过圆的方法找第三个点。

2.解决有关折叠问题

例10：如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AD=CD=2，AB=4，点 E、F 分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P. 当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于____。

【解析】：根据折叠的性质可知EP=EA，所以点P一定在以E为圆心、EA长为半径的圆上.因为点P要在直角梯形ABCD内部，故点P落在梯形内的圆弧上.当点E越靠近B点时，圆的半径越大，所以圆弧上的点离点D越近，当E点在B点时半径最大，圆弧离点D最近.而在圆弧上的所有点中又有一个点离点D最近，易知该点就是直线BD与圆的交点,如图所示即为P’.因为AD=2、AB=4，所以由勾股定理得.故PD的最小值为。

【说明】：折叠时对应边的长度始终相等，且到折痕的某个端点的距离相等。故可以构造折叠前后的两个对应点共圆。

3.解决有关旋转问题

例11：如图，在锐角ABC中，AB=8，BC=10，∠ACB=45°，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到.点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段长度EP1的最大值与最小值。

【解析】：根据旋转的性质，点P1在以B为圆心、BP长为半径的圆上.圆上与点E最近、最远的两个点便是直线BE与圆的两个交点.易知当时.如图所示，在以B为圆心、BP长为半径的圆上，与点E最近的是M点，所以EP1的最小值即为EM的长.因为已知AB=8,BC=10，∠ACB=45°，易知；当EP1的长度最大时，半径BP要最大，即点P在以C点为圆心，以BC为半径的圆上，如图所示，与点E最远的是N点，易知EN=EB+BN=4+10=14，综上所述，EP1长度的最大值是14，最小值是。

【说明】：任何图形的旋转最终都是点关于点的旋转。因为一个点绕着另一个点旋转的过程中始终保持着距离不变，所以旋转得到的所有点共圆，该圆的圆心就是旋转中心、半径就是这两个点之间的距离。所以许多旋转的问题可以通过添加辅助圆来解决。

4.解决有关特殊角问题

例12：在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（-6，0），点 C 是 y 轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，求点C的坐标。

【解析】：如图所示，取AB中点E，作EP⊥BA，且，易知△PBA为等腰直角三角形，。以点P为圆心，PA长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，因为∠BCA为⊙P的圆周角，所以∠BCA=，则点C即为所求。过点 P作 PF⊥y轴于点 F，则OF=PE=5，PF=1，在，由勾股定理得 CF=7，所以OC=OF+CF=5+7=12。所以点C坐标为（0，12）。根据圆的对称性质，可得y轴负半轴上的点C坐标为（0，-12）。综上所述，点 C坐标为（0，12）或（0，-12）。

【说明】：本题的突破口应该是∠BCA=45°这个条件，45°是一个特殊角，从这个角度入手我们可以构造直角三角形，而直角三角形又可以到圆中去找，这样就想到了构造辅助圆的方法。在数轴上一个数据就能确定一个点的位置，在平面直角坐标系中要两个数据才能确定一个点的位置，在本题中圆和弦的交点恰好就是所求的点C,转化到运用几何的知识解决，自然而然，事半功倍。

我们都知道数学能力有两个方面，一是运算能力，一是思维能力。运算能力是一种基础能力，强调记忆、熟练度（复杂运算需要一些技巧），思维能力才是一种高级能力，强调借助抽象的数字符号、概念进行思考与推理。由本文例题可以看出，原题图中都没有圆，当解题时添上辅助圆后，问题就迎刃而解，让学生们体会辅助圆的妙用，做到题中无圆，心中有圆。作为一线数学教师，在平时的课堂中应用“归类”教学法引导学生对知识的内在联系有更深一步的理解，侧重思维训练，让学生真正做到解一题会一类，掌握数学学习方法。既培养学生的数学思维能力,又提高课堂效率，于“归类教学”中寻实效，是走向轻负高效的一条可行之路，一条快捷之路，也是一条必由之路。

[1]孔慧英，梅智超编著，现代数学思想概论。北京：中国科学技术出版社，1993

[2]钱学森主编，关于思维科学。上海：上海人发出版社，1986

[3]郭思乐、喻伟著，数学思维教育论。上海：上海教育出版社，1997

[4]朱智贤、林崇德，思维发展心理。北京师范大学出版社，1990

[5]席振伟著，数学的思维方式。南京：江苏教育出版社，1995