高中数学中分类讨论思想的探究

李冬明

【摘要】分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置.要掌握这一重要的数学思想方法，需要搞清楚两个问题，即为什么要讨论，怎样讨论.

【关键词】分类讨论；数学思想

分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.要用好分类讨论的思想解决问题必须注意以下几个方面.

一、弄清分类讨论的原因

（1）由数学概念而引起的分類讨论：如绝对值的定义，不等式的定义，二次函数的定义，直线与平面所成的角，直线的倾斜角，两条异面直线所成的角等问题.

（2）由数学运算引起的分类讨论：如导数的正负号，除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，对数运算中真数与底数的要求等问题.

（3）由函数的性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、等比数列的前n项和公式等问题.

（4）由参数的变化而引起的分类讨论：如含参数的方程、不等式，含参数的函数的单调性、值域（最值）等问题.

（5）由图形不确定引起的分类讨论：如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等问题.

（6）其他根据实际问题具体分析而引起的分类讨论：如排列组合，概率等实际问题.

二、确定分类讨论依据

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无规定.但可以在解题时不断地总结经验.常见的情形略举以下几例：

1.依据数学概念分类讨论

例1 已知集合A和集合B各含有10个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①CA∪B且C中含有3个元素；② C∩A≠.

解析 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素.并由含A中元素的个数1、2、3，而将取法分三种.

点评 当已知条件不能确定图形的位置时，在求解或证明过程中，则需根据可能出现的图形位置进行分类.此类问题在立体几何和解析几何中较为常见.

三、把握分类讨论应遵循的原则和步骤

1.原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，其中最重要的一条是“不漏不重”.

2.基本步骤：（1）分类转化，结合已知所涉及的知识点，找到合理的分类标准；（2）依次求解，在每一类所满足的条件下，逐类求解；（3）汇总作答，汇总分类结果，得出结论.

四、分类讨论应注意的问题

在运用分类讨论解题时，我们要明确分类的原因是什么？对象是什么？分几个类别？不仅要掌握分类的原则，而且要把握分类的时机，重视分类的合理性与完整性.

分类讨论思想是高中数学中一种重要的解题策略，对于培养学生逻辑思维的严密性、严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具很大的帮助.如果能很好地掌握这种分类讨论思想，再联系数形结合的思想、函数与方程思想等解题思想方法，则必可在解决高中数学中一些综合性难题的时候，达到迅速、准确的解题目的.