《组合》教学设计（第一课时）

田丽红

【教材分析】

本节课是普通高中新课标人教版数学选修2-3第一章《计数原理》中的内容，包括组合的概念、组合数公式的探究和应用，分为三课时。第一课时的教学旨在探究组合的概念，组合数公式，并解决一些简单的计数问题.本节内容在本章学习中起着承上启下的作用.前面已经学习了两个计数原理（分类加法计数原理和分步乘法计数原理）和排列的内容.排列与组合的区别在于一个计数问题是否与元素的顺序有关.教学中采用类比的方法，通过学生在学习与生活中的实例，引导学生理解组合的概念.学习组合还为后面学习二项式定理打基础.

【教学目标】

1.知识与技能

理解组合的概念，能写出一些简单问题的所有组合，能判断一个问题是排列问题还是组合问题.掌握组合数公式，并会应用.

2.过程与方法

经历从特殊到一般的归纳推理，总结排列数Amn与组合数Cmn之间的联系.

3.情感态度与价值观

在学习过程中，体会数学思想方法，提升分析问题的能力.

【教学重点】

组合的概念和组合数公式的推导与应用.

【教学难点】

组合的概念和组合数公式的推导.

【授课类型】

新授课.

【教学过程】

一、新课引入

问题1：从甲、乙、丙3名教师中选出2名去参加某天的一项培训，其中1名教师参加上午的培训，1名教师参加下午的培训，有多少种不同的选法？

问题2：从甲、乙、丙3名教师中选出2名去参加某天的一项培训，有多少种不同的选法？

思考：这两个问题的区别在哪里？

设计意图：引导学生通过列举法解决这两个问题，再找出排列与组合问题的不同，引出组合的概念.

二、新课讲解

1.组合的概念

一般的，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

思考：排列与组合有什么共同点与不同点？

共同点：都要“从n个不同元素中取出m个元素”.

不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.

设计意图：采用类比的方式，通过概念辨析进一步理解组合的概念.

练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.

（1）设集合A为{a，b，c，d，e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？（ ）

（2）某铁路线上有6个车站，则这条铁路线上有多少种不同的火车票价？（ ）

（3）8个班干部中选出3个人去参加义务劳动，有多少种不同的选法？（ ）

（4）在同学聚会上每两人要握手相互问候，有20人参加聚会，共需握手多少次？（ ）

（5）A、B、C、D、E五个篮球队举行单循环赛，有多少场比赛？

（ ）

设计意图：通过解决生活和学习中的实际问题让学生进一步理解组合的概念.

练习2：（1）从a，b，c三个元素中取出2个元素的所有排列是

.

（2）从a，b，c三个元素中取出2个元素的所有组合是 .

设计意图：一是加深对组合的理解，二是为引出组合数的概念与组合数公式的推导做铺垫.

2.组合数

（1）组合数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cmn表示.

例如：从3个不同元素中取出2个元素的组合数为C23=3，从4个不同元素中取出3个元素的组合数为C34.那么C34是多少呢？

设计意图：让学生对组合数的概念及符号有初步的认识，引发学生对组合数的求知欲.

（2）组合数公式的推导.

提问：从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数 是多少呢？

①启发：由于排列可以看成先选择再排序，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A34可以求得，我们看一下C34和A34的关系，如下：

组合 排列

abc → abc，bac，cab，acb，bca，cba

abd → abd，bad，dab，adb，bda，dba

acd → acd，cad，dac，adc，cda，dca

bcd → bcd，cbd，dbc，bdc，cdb，dcb

由此可知：每一个组合中3个元素都有A33种排列.所以，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A34，可以分如下两步：

第1步，求出从4个不同元素中取出3个元素的组合数C34；

第2步，求出每一个组合中3个不同元素的全排列数A33.

由分步乘法计数原理得：A34=C34·A33，从而C34=.

设计意图：通过解决特殊问题，然后从特殊到一般探索组合数的求法.

②推广：一般的，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数Amn，可以分如下两步：

第1步，求出从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cmn；

第2步，求出每一个组合中m个不同元素的全排列數Amm，

根据分步乘法计数原理得：Amn=Cmn·Amm

③组合数公式：

另外，我们规定：C0n=1.

三、知识应用

例1.计算：（1）C46 （2）C510 （3）C28-C37

练习：课后25页第5题.

设计意图：组合数公式的应用.

例2.甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛，有多少场比赛？

（1）列出所有各场比赛的双方；

（2）列出所有冠亚军的可能情况.

练习：课后25页第1题.

设计意图：通过解决实际问题，加深学生对组合概念的理解，对组合数公式的应用.

四、课堂小结

1.组合的概念，与排列的区别与联系.

2.组合数的概念及组合数公式的推导与应用.

五、作业布置

课本第25页练习第2、3、4题；第27页习题1.2A组第9、11、12题.

【板书设计】（略）

【教学反思】

本节课是组合的第一课时，主要目标是学习组合的概念，探究组合数公式，解决简单的计数问题.教学中，以实际问题的解决为背景引入新课，充分调动学生的学习积极性，并注重渗透数学思想方法（类比法和归纳法），让学生在学习知识的过程中，领会常见的数学思想方法，提升学习数学的能力.

编辑 韩 晓