谈刍议高中代数排列组合的解题策略

严伟

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）13-197-01

排列和组合是高中数学教与学的一个难点，虽然高考中所占比重不大，但试题具有一定的灵活性、机动性和综合性，教学中又涉及到分类与整合、转化与化归、正难则反等多种思维方法，又是概率的基础。排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，因为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。有相当一部分题目教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教者觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平，思维能力在一定程度上受到限制，还不太适应。从而导致学生对题目—知半解，甚至觉得“云里雾里”。针对这一现象，笔者在日常教学过程中经过尝试总结出一些个人的想法跟各位同行交流一下。

一、激发学生学习兴趣

"兴趣和爱好是最好的老师。"因此数学学科要取得良好的效果，要求教师有渊博的知识，结合数学科的特点，精心设计每一节课，以情趣导学，充分调动学生学习数学的热情。数学教学心理学认为：教师应该设法使学生在数学学习前处于对知识的“饥饿状态”，以激发学生的学习兴趣，动机和热情。

笔者认为之所以学生"怕"学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为"演员"，成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。

二、排列组合综合问题的一般解题规律

使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

三、特殊元素（位置）的“优先安排法”

对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。

例1、用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。

A.24个 B.30个 C.40个 D.60个

[分析]由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有A42个，2）0不排在末尾时，则有C21 A31A31个，由分数计数原理，共有偶数A42 + C21 A31A31=30个，选B。

四、相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法

例2、有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本.若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有（ ）种.（结果用数值表示）

解：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有A55种排法；又3本数学书有A33种排法，2本外语书有A22种排法；根据分步计数原理共有排法A55 A33 A22=1440（种）。

注：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题.

五、不相邻问题用“插空法”：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开.解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法

例3、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有（ ）个.（用数字作答）

解：由于要求1与2相邻，2与4相邻，可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一个大元素，这个大元素的内部中间只能排2，两边排1和4，因此大元素内部共有A22种排法，再把5与6也捆绑成一个大元素，其内部也有A22种排法，与数字3共计三个元素，先将这三个元素排好，共有A33种排法，再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个，把要求不相邻的数字7和8插入即可，共有A42种插法，所以符合条件的八位数共有A22 A22 A33 A42=288（种）。运用“插空法”解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置。

六、顺序固定用“除法”

对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

例4、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？

分析：不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66 ÷A33 =120种。（或A63种）

例5、4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。

解：先在7个位置中任取4个给男生，有A74 种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有A74 种排法。