广义中立型Emden-Fowler时滞阻尼微分方程的振动性

2016-07-01曾云辉李元旦罗李平罗振国

浙江大学学报（理学版） 2016年4期

关键词：时滞阻尼准则

曾云辉, 李元旦, 罗李平, 罗振国

(衡阳师范学院数学与统计学院，湖南衡阳 421008)

广义中立型Emden-Fowler时滞阻尼微分方程的振动性

曾云辉, 李元旦*, 罗李平, 罗振国

(衡阳师范学院数学与统计学院，湖南衡阳 421008)

研究了一类具有阻尼项的广义中立型Emden-Fowler时滞微分方程的振动性.利用Riccati变换、积分平均技巧等方法，获得了该方程解振动的充分条件，所得结果推广和改进了最近研究中的一些结果.

中立型；Emden-Fowler方程；阻尼项；振动性

0 引言

考虑广义中立型Emden-Fowler时滞阻尼微分方程

(1)

文中假设：

的解x(t).如果方程(1)的解有任意大的零点，称为振动，否则称为非振动；如果方程(1)的每一解均为振动，称方程(1)为振动[1].

Emden-Fowler型方程在理论和实际应用上均有重要意义. 例如Emden-Fowler方程

这里n≠0,n≠1,a,b,m是参数,在数学物理、理论物理及化学物理等领域有着广泛应用[2].中立型Emden-Fowler方程在高速计算机无损线路的网络设计中亦有广泛应用[3]. 因此方程(1)的振动性问题引起了学者们的广泛关注. 特别是如下特例：

(r(t)x′(t))′+q(t)x(t)=0，

(2)

(3)

(r(t)[x(t)-p(t)x(t-c)]′)′+

(4)

(5)

(6)

对于线性方程(2)的振动性,LEIGHTON[4]证明如下：

定理A设

(7)

(8)

则方程(2)振动.

对于中立型方程(3),GRAMMATIKOPOULOS等[5]给出定理B.

定理B设0≤p(t)≤1,q(t)≥0,且

(9)

则方程(4)振动.

SUN等[6]对半线性方程(5)建立了如下振动准则：

定理C 设

(10)

(11)

则方程(5)振动.

文献[7]对中立型Emden-Fowler方程(6)建立了如下振动准则：

定理D设

(12)

则方程(6)振动.

最近文献[7]利用Riccati方法和积分平均技巧，得到了方程(6)当α≥β>0时的若干振动准则,推广和改进了文献中的一系列结果,受文献[7]研究的启发, 本文研究了方程(1)的振动性问题. 在α≥β条件下给出了方程(1)的振动条件,同时证明了当β≥α时方程(1)的新的振动定理,所得结果推广并改进了若干文献中的结果.

1 α≥β时的振动准则

定理1 设

(13)

(14)

证明设方程(1)有非振动解x(t),不失一般性，设x(t)>0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0,t≥t1≥t0(x(t)<0的情况可以类似证明),有

z(t)≥x(t)>0

(15)

可断言：

z′(t)≥0,t≥t1,且最终不恒为0.

(16)

不然, 则存在T≥t1≥t0, 当t=T时,z′(T)<0, 那么根据式(1),当t>T时,有

也就是

从而有

(17)

(18)

令t→∞，并结合式(14)有

与z(t)>0矛盾. 故z′(t)≥0,且最终不恒为0. 因此有z″(t)≤0.

于是上式可写为

μ1(t)zβ(σ(t))≤0.

(19)

定义函数

(20)

则w(t)>0.

(21)

(22)

式(22)乘以ρ(t)并积分, 利用分部积分得到

(23)

式(23)右端积分中利用不等式

(24)

有

即

ρ(t1)w(t1).

(25)

得到式(25)与式(14)矛盾，定理1证毕.

推论1 如果定理1中ρ(t)=1,a(t)=0，且式(13)和(14)分别替换为

(26)

和

(27)

则方程(1)振动.

推论2 设ρ(t)=1,a(t)=0,r(t)=1且式(27)

成立, 则方程(1)振动.

注1 推论1推广了定理A,推论2推广了定理B. 因此 , 定理1推广、改进并统一了著名的Leighton定理和Grammatikopounlms定理, 值得注意的是，推论1、2对任意α>0,β>0都成立.

例1 考虑中立型微分方程

因此，

现令

定理2 设式(13)成立,式(27)不成立，若

α>β>0，且

(28)

(29)

则方程(1)振动.

证明设方程(1)存在非振动解x(t)，不失一般性,设x(t)最终为正,则z(t)≥x(t)>0,t≥t1,如同定理1的证明，有式(17)和(7)成立. 即

也就是

对上式积分，有

(30)

对式(30)积分，有

即

(31)

定义函数

(32)

注意到式(28)成立,故式(32)与式(29)矛盾.定理2证毕.

注2 文献[8]的定理3.1是本文定理2当p(t)=0,a(t)=0时的特例.将结果推广到了中立型阻尼方程.

下面的定理对任意α>0,β>0均成立，如果满足：

(33)

方程(1)称为是非正则的，现在考虑在非正则条件下，方程(1)的振动性.

定理3 设式(33)和(27)成立，若p′(t)≥0,τ′(t)>0,x′(t)x′(τ(t))>0,且

(34)

证明设方程(1)有最终正解x(t)(对于有最终负解x(t)的情况可以类似证明),如同定理1的证明，知z′(t)最终定号. 故z′(t)有2种情况：

情况(i)：若z′(t)>0,t≥t1≥t0.即式(16)成立，类似定理1的证明，结果与式(17)矛盾.

(35)

对式(35)积分,有

即

(36)

(37)

2 β≥α时的振动准则

注意到对方程(1)振动性的研究，大多考虑α≥β的情况，而本文给出了当β≥α时方程(1)的2个振动准则.

引理1 设式(13)成立，且

(38)

证明设x(t)>0,t≥t1≥t0，由定理1的证明知式(16)和(19)成立. 即z′(t)>0且有

(19′)

若z(t)有界，则存在c1,c2>0，使得

(39)

对式(19′)积分，有

即

对上式在[t1,t]上积分，有

利用式(39)得到

(40)

(41)

则方程(1)振动.

证明设方程(1)有非振动解x(t). 不失一般性, 设x(t)是式(1)的最终正解. 如同定理1的证明，有式(16)和(19)成立. 定义函数同式(20), 即

则

(42)

上式中利用了不等式

和式(19).下面在式(42)中利用引理1及β≥α，得

t≥T≥t1.

(43)

式(43)乘以ρ(t)，积分有

(44)

在式(44)右端积分中利用不等式:

(45)

得

(46)

显然式(46)与式(41)矛盾. 定理3证毕.

注4 定理4推广并改进了文献[6]和[8]的主要结果. 只须取α=β,p(t)=0,a(t)=0,ρ(t)=Rα(σ(t))即可. 同时定理4也统一了定理A～D.

推论3 设r(t)=1,α>1, 式(38)成立，若

(47)

则方程(1)振动.

下面给出当式(27)不成立时，方程(1)的另一个振动准则.为简化计算，设

(48)

(49)

则方程(1)振动.

证明设方程(1)有非振动解x(t)，定义函数ω(t),同定理4的证明，知式(43)成立，即

t≥T≥t1.

(50)

对式(50)积分，有

从而

(51)

(52)

(53)

(54)

利用不等式(45),其中，

得到

(55)

显然式(55)与式(54)矛盾. 故方程(1)无非振动解，定理5证毕.

[1]LIUL,BAIY.Newoscillationcriteriaforsecondordernonlineardelayneutraldifferentialequations[J].JComputApplMath,2009,231:657-663.

[2] 李同兴, 韩振来, 张承慧, 等. 时间尺度上三阶Emden-Fowler时滞动力方程振动准则[J]. 数学物理学报,2012,32(1):222-232.

LITongxing,HANZhenlai,ZHANGChenghui,etal.Oscillationcriteriaforthird-orderemden-fowlerdelaydynamicequationsontimescales[J].ActaMathematicaScientia,2012,32(1):222-232.

[3]LIT,HANZ,ZHANGC,etal.OntheoscillationofsecondorderEmden-Fowlerneutraldifferentialequations[J].JApplMathComput,2011,37:601-610.

[4]LEIGHTONW.Thedetectionoftheoscillationsofsolutionsofasecondorderlineardifferentialequation[J].DukeMathJ,1950,17:57-62.

[5]GRAMMATIKOPOULOSMK，LADASG，MEIMARIDOUA.Oscillationsofsecondorderneutraldelaydifferentialequations[J].RadMath,1985(1):267-274.

[6]SUNYG，MENGFW.NoteonthepaperofDzurinaandStavroulakis[J].ApplMathComput,2006,174:1634-1641.

[7]LIUHD,MENGFW,LIUPH.OscillationandasymptoticanalysisonanewgeneralizedEmden-Fowlerequation[J].ApplMathComput,2012,219:2739-2748.

[8]BACULIKOVAB,LIT,DZURINAJ.Oscillationtheoremsforsecondordersuperlinearneutraldifferentialequations[J].MathematicsSlovaca,2013,63:123-134.

Oscillation of generalized neutral delay differential equations of Emden-Fowler type with damping.

ZENG Yunhui, LI Yuandan, LUO Liping, LUO Zhenguo

(CollegeofMathematicsandStatistics,HengyangNormalUniversity,Hengyang421008,HunanProvince,China)

Oscillation of generalized neutral delay differential equations of Emden-Fowler type with damping was studied. By using of Riccati transformation and integral inequality technique, we obtained some new sufficient conditions for oscillation of all solutions of the equation, which generalized and improved some known results.

neutral type; Emden-Fowler differential equation; damping term; oscillation