一类差分方程组的亚纯允许解

金　瑾

(1.贵州工程应用技术学院数学系，贵州 毕节 551700；2.毕节循环经济研究院，贵州 毕节 551700)

一类差分方程组的亚纯允许解

金瑾1，2

(1.贵州工程应用技术学院数学系，贵州 毕节 551700；2.毕节循环经济研究院，贵州 毕节 551700)

[摘要]利用亚纯函数的Nevanlinna值分布理论，研究了一类差分方程组的亚纯解的存在性问题.得到差分方程组的亚纯解或同为允许、或同为非允许的结论，进而得到了更一般的结果.

[关键词]差分方程组；亚纯函数；允许解；Nevanlinna理论；值分布理论

1预备知识

我们假设读者熟悉亚纯函数的Nevanlinna值分布理论的基本知识和通常记号.[1-19]关于微分方程组的允许解问题，有很多作者做了大量的工作，得到了一大批很好的结果.[1-12]

对下面的高阶非线性代数微分方程组

(1.1)

其中

引理3设函数f(z)为复平面上的超越亚纯函数，则对任意的正整数k都有

证明由已知条件和引理2，

故

引理4设函数f(z)为复平面上的亚纯函数，k是任意的正整数且f(0)=0，f(i-1)(0)=1，f(i)(0)=0 (i=1，2，…，k).则N(r，f(k))≤kN(r，f).

证明由已知，f(k)(z)和f(k-1)(z)以且仅以f(z)的极点为它们的极点.若当f(z)以某点z0为j(j≥1)重极点时，f(k-1)(z)以点z0为k+j-1重极点，f(k)(z)以点z0为k+j重极点.从而

引理5设w1，w2，…，wn都是有限级函数，且T(r，A(i))=o(T(r，wL))，(L=1，2，…，n)，

证明定义

故

由引理3得

所以

(1.2)

下面估计N(r，Ωt(z，w1，w2…，wn)).由已知和引理2，

N(r，Ω1(z，w1，w2，…，wn))=

即

(1.3)

其中I1和I2都是对数测度为有限的例外值集.

证明由已知有

2主要结论

本文利用Nevanlinna值分布理论，对高阶非线性代数微分方程组(1.1)的亚纯允许解的存在性问题进行了研究.根据以上定义以及众多研究的基础上，我们得到以下改进和推广的结论.

定理1设(w1，w2，…，wn)是非线性微分方程组(1.1)的有限级亚纯允许解，则

证明由已知和引理1得：

T(r，R1(z，w1))=max{p1，q1}T(r，w1)+S(r)；

T(r，R2(z，w2))=max{p2，q2}T(r，w2)+S(r)；

⋮⋮

T(r，Rn(z，wn))=max{pn，qn}T(r，w2)+S(r).

(2.1)

由引理5有：

⋮⋮

(2.2)

由(1.1)、(2.1)与(2.2)式我们可得：

⋮⋮

(2.3)

由(2.3)式有：

⋮⋮

(2.4)

[参考文献]

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(责任编辑：李亚军)

On the meromorphic admissible solution of systems of differential equations

JIN Jin1，2

(1.Department of Mathematics，Guizhou University of Engineering Science，Bijie 551700，China；2.Research Institute of Circular Economy of Bijie，Bijie 551700，China)

Abstract:Using Nevanlinna theory of the value distribution of meromorphic functions，the problem of the existence of solutions on the higher-order nonlinear algebraic differential equation is investigated.It is shown that the meromorphic solution of the differential equations system are all admissible or non admissible.Moreover，some more general results are deduced.

Keywords:differential equations systems；meromorphic function；admissible solution；Nevanlinna theory；value distribution

[文章编号]1000-1832(2016)02-0027-04

[收稿日期]2014-10-15

[基金项目]贵州省科学技术基金资助项目(2010GZ43286，2012GZ10526)；贵州省毕节市科研基金资助项目 ([2011]02)；贵州省教育厅科学技术基金重点资助项目([2015]392).

[作者简介]金瑾(1962—)，男，教授，主要从事复分析研究.

[中图分类号]O 174.52[学科代码]110·41

[文献标志码]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.007