例析函数值域（最值）的求解策略

张梅

摘 要 通过具体例题，介绍求函数值域（最值）的常用方法。

关键词 值域（最值）方法 函数 求解策略

中图分类号：G683.6 文献标识码：A

1函数的值域（最值）的知识点

（1）函数的值域：函数，（集合A是函数的定义域）。与x的值相对应的y的值称为函数值，函数值的集合（函数的值域。

（2）最大值定义：设函数的定义域为A，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。称是函数的最大值。

（3）最小值定义：设函数的定义域为A，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。称是函数的最小值。

（4）一般地，如果在区间[a，b]上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且值域为。

2函数的值域（最值）求解策略

函数的值域（最值）没有通性解法，只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法，下面见方法。

2.1分析观察法

对于结构简单的函数，可以通过基本初等函数的性质及不等式的性质观察出函数的值域（最值）

例1：求下列函数的值域。

2.2分离常数法

对于形如的函数，可采用分离常数法求值域（最值）。

例2：求函数的值域。

2.3反解x法

对于形如（或能够转化为）的函数，可以采用反解x法求值域（最值）。

例3：求下列函数的值域。

2.4配方法

对于二次函数或能够转化为的函数，可以通过配方法求函数的值域（最值）。

例4：求下列函数的值域。

函数图像是对称轴为的开口向下的抛物线，

2.5换元法

用新变量代替原来函数中的某部分对象，实现化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理超越式为代数式等，将比较复杂的函数转化成易于求值域（最值）的函数进行求解。

例5：求下列函数的值域。

当即也即时，有最小值；

当即也即时，有最大值。

值域为。

点评：换元法要注意考虑新元“t”的取值范围。

2.6单调性法

对于能快速判断单调性的函数，可采用单调性法求值域（最值）。

例6：函数的值域为__________。

解：函数的定义域为，显然在其定义域上单调递增，

∴当x=1时，函数有最小值，故值域为。

2.7判别式法

对于形如、、的函数，我们可以将其转化为的形式，再通过求得的范围。但当函数为指定的函数时，用判别式法求出y的范围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误。

2.8数形结合法

通过联想，构造几何模型，探求问题的简捷解法。对于形如的最值问题，我们一般可以转化为的斜率问题；对于形如的最值问题，我们一般可以转化为动直线的截距问题；对于形如的最值问题，我们一般可以转化为动点到定点的距离问题。

2.9构造辅助角法

由于正余弦函数都是有界函数，值域为[-1，1]，通过构造辅助角，利用函数的有界性，可求得（最值）。

2.10导数法

一般地，当函数较为复杂而使用其它方法未能奏效时，我们往往可以使用导数法来进行求解。