以“鸡兔同笼”为例看从计算思维到方程思维的发展

张凌云　李瑜



以“鸡兔同笼”为例看从计算思维到方程思维的发展

张凌云李瑜

在中小学数学教学衔接的调研过程中，中学数学教师最关注、最希望小学能够解决的问题是注重学生计算能力和学习习惯的培养。有中学数学教师甚至提出假设，是否可以直接砍掉小学数学应用题的教学，因为小学阶段传授的算术方法让学生根深蒂固，以致影响初中方程思想解应用题的运用，扭转起来很困难。而且对于中学数学教师来说，解应用题从不用算术方法，若是实在要用，很多时候都是先列方程解，再按列方程的思路倒退回去形成算术方法。

既然算术方法比列方程要难很多，那为什么不直接学用方程解应用题呢？这几乎是中小学数学应用题教学的一个较难沟通之处。于是，对于中小学数学教师来说，就很有必要相互了解并理解应用题教学中学生从计算思维到方程思维的发展过程。

在多次听了小学的“鸡兔同笼”问题的教学，研究了各学段教材和对应的课标要求以后，笔者对中小学数学应用题的教学有一些想法，与大家共享。

“鸡兔同笼”问题以前编排在人教版小学六年级教材中，现在下放到了人教版小学四年级下册中。教材上的设计是由古代数学名著《孙子算经》上的趣题引入，教学中教师将大数据化小，化繁为简进行处理，形成例1：

笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？

综合此题的教学设计，可以看到不同层次思维的发生、发展以及教师的层层引导。

层次一：猜测法。由两个学生的对话，猜测哪一组鸡兔数目的组合满足题意，是3只鸡，5只兔？还是4只鸡，4只兔？……

让学生进行尝试与猜测，符合刚接触到此类题的学生的认知思维，能促使学生以发现者的身份去探索知识，无疑在心理上会产生一种极大的满足和喜悦，从而激发兴趣，提高学习的主动性。

层次二：（1）逐一列举法。按照鸡的数目从最大（8只）到0一一列举出所有可能的鸡兔数目组合，从中找出满足题意的数目组合。

书上呈现的也就是如下的“逐一列举法”：

鸡　8　 7　 6　 5　 4　 3　 2　 1　 0兔　0　 1　 2　 3　 4　 5　 6　 7　 8脚　16　 18　 20　 22　 24　 26　 28　 30　 32

在完成表格的过程中，学生观察数据中还可以找到的变化规律：每增加1只兔子、减少1只鸡的构成中，脚的数量就增加2只。这渗透了一次函数的均匀变化的观点，对学生后续思考假设法有帮助。

层次二：（2）取中法。在“逐一列举法”的使用中，学生可以发现不必把所有数据都列出来，可以先从中间数据入手，即取“4只鸡，4只兔，得到共24只脚”，判断比已知脚数少2只脚，于是相应地增加1只兔，减少1只鸡的数量，问题同样得解。于是这种“取中法”则是在“逐一列举法”的基础上产生的更高一层的思维体现。

有了前面三种列举法的铺垫，自然而然可以进入到以下的假设法。

层次三：特殊假设法。（假设引出脚数差：假设全部是鸡，通过脚数的差异找到兔子数，再得到鸡数）

（1）如果全部是鸡。（为什么要假设全部是鸡呢？按照中学教学的观点，把兔先换成鸡，类似先去掉一个未知数）

于是2×8=16（只）脚，

少了26-16=10（只）脚，（脚数差为10，是由于假设不成立造成的，其中必有兔被当成了鸡进行计算）

4-2=2（只）脚，（每只兔与每只鸡的脚数差是2）

10÷2=5（只）兔。（总脚数差10÷每只兔与每只鸡的脚数差2=少算的兔的数量，即：总数差÷份数差=份数）

（2）如果全部是兔。

8×4=32（只）脚，32-26=6（只）脚，4-2=2（只）脚，6÷2=3（只）鸡。

以上的假设法，实际和“逐一列举法”两头的数据有关，即从“鸡数为8，兔数为0”和“鸡数为0，兔数为8”的特定情况出发进行分析，照这样的思路，同样也可以形成以下假设：

（3）如果兔有4只，鸡有4只。

4×4+4×2=24（只）脚，26-24=2（只）脚，4-2=2（只）脚，2÷2=1（只）兔。

第（3）种假设法对应于“取中法”，只是从没听到小学教师在教学中用过，更多的是使用前两种。同时，由于教师在教学时让学生理解透彻的少，更多的是让学生记忆和模仿，也就出现了学生不明就里，分不清到底计算的是什么，而单纯地死记硬背“设鸡求的是兔，设兔求得的就是鸡”，也让辅导的家长和旁观的中学教师苦不堪言，自然就生出了干脆“砍掉”该内容一说。

层次四：一般假设法（一元一次方程或二元一次方程组解法）。

一元一次方程解法：设笼子里有鸡x只，则兔有（8-x）只，可列方程得：

2x+4（8-x）=26。

解之得x=3，8-x=5。

二元一次方程组解法：设笼子里有鸡x只，则兔有y只，可列方程组得：

解之得x=3，y=5。

对上述方程方法，究其本质，也就是将小学的特殊假设法转化为一般假设法而已，其表述简洁明了，更通俗易懂，便于学生学习与理解。只是学生已经养成用算术方法解题的习惯，形成了一定的数学知识负迁移。而且，小学的算术方法的使用对小数据可行，对大数据，还是需要运用方程思想。因此从算术思维向方程思维发展的过程中，教师需要引导学生正确地分析应用题中已知数量和未知数量之间的关系，再让学生对两种解法进行对比，在对比的基础上理解每种解法的简便性，以便学生在解题过程中灵活选择合理的方法。

综上所述，我们从整个课程内容体系的全景把握，俯瞰自己所教学的课程内容时，可以发现：

从猜测法到逐一列举法的探究过程中，学生逐步体会到思维的从无序到有序，如何不重复、不遗漏地尝试寻找正确的结果，同时学会找到数量之间的关系的方法。

由逐一列举法发现规律到特殊假设法的算术思想方法解题，学生体会到解决较复杂问题时的一种有效的思维方式，即考察其最简单、最原始的特殊情况，退中求进、化繁为简地进行数据的分析，从而寻找到解题的思路和突破口。

而从特殊假设法到一般假设法，则是体现了从特殊到一般的数学思想方法的运用，沟通了从数量关系的算术运用到数量关系的方程运用，反映的是数学知识和思想方法的变化发展脉络。

甚至还能从表格的列举中形成更深层次的函数的表达：设笼子里有鸡x只，则兔有（8-x）只，脚数为y只，则可列出一个y关于x的函数关系式：y=2x+ 4（8-x），即y=32-2x。

笼子中出现的脚数y随着鸡数x的变化而发生变化。

这些解法体现了思维的深化与发展，也反映了学生对数学认识和理解的状况，以及他们思维水平的抽象程度和运用知识解决问题的实际能力。而这些知识联系的空间，就是学生学科发展的空间。教师在教学中，要让学生在多种解决方法的探索与对比中认识到解决问题策略的多样性和代数方法的优越性，从而促进学生逻辑推理能力的发展，锻炼观察、分析、推理和解决问题的能力。

事实上，以上对“鸡兔同笼”问题的分析还包括了教师对中小学数学衔接的教学内容拓展空间、课程内容编排体系、学生已有知识经验等多方面的思考。这要求中小学教师要拥有一个基于整个义务教育一贯制课程的全局视野，能够知晓小学和初中课程内容及学生数学发展的衔接，才可能使我们的教学做到高屋建瓴、高瞻远瞩。总之，宽阔的课程视野应该成为教师实践课程目标的主动追求。（本文是湖南省教育科学“十二五”规划课题“区域推进义务教育阶段数学教与学衔接的实践研究”（课题批准号：XJK013CZXX065）研究成果）

（作者单位：株洲市荷塘区教研室）