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一类三次Kolmogorov系统的极限环

2016-06-27吴岱芩黄文韬吴燕兰

桂林电子科技大学学报 2016年2期
关键词:奇点平衡点原点

吴岱芩,黄文韬,2,吴燕兰

(1.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院,广西 桂林 541004;2.贺州学院 数学系,广西 贺州 542800)

一类三次Kolmogorov系统的极限环

吴岱芩1,黄文韬1,2,吴燕兰1

(1.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院,广西 桂林541004;2.贺州学院 数学系,广西 贺州542800)

摘要:针对一类三次Kolmogorov捕食系统在正平衡点(1,1)的极限环分支问题,利用计算机代数系统Mathematica,将实系统逐步转化为复系统,计算伴随复系统的前5个奇点量,利用雅克比行列式推导正平衡点处可分支的极限环个数,得出该系统在一定条件下可分支5个小振幅极限环的结果。

关键词:正平衡点;Kolmogorov系统;极限环;奇点量

生态学模型的极限环在理论和应用上是重要而有趣的问题,如下生态模型

称为Kolmogorov模型,x、y分别代表2个种群的密度。该模型描述种群间的捕食与被捕食、相互竞争作用以及互惠共存作用。许多生态问题都可归结为f(x,y)和g(x,y)多项式,从而吸引了许多生物数学研究者的关注。针对一类三次Kolmogorov系统,张江山等[1]证明了系统极限环的存在性与唯一性;Lloyd等[2]证明了系统可分支4个极限环;陆征一等[3]得到系统可分支3个极限环(其中2个稳定)的结果;Lloyd等[4]得到系统可分支6个极限环;杜超雄等[5]证明了系统可分支5个极限环,并给出了系统奇点量均为零的充分条件,但未对其加以证明。彭跃辉[6]研究一类具有2个正平衡点的三次Kolmogorov系统,得到可分支6个极限环的结果。为此,研究如下三次Kolmogorov系统:

(1)

其中:b≠1,d≠-1,且a,b,c,d∈R。应用奇点量方法[7-8],计算正平衡点(1,1)的前5阶奇点量,并给出其奇点量表达式,通过雅克比行列式方法证明系统(1)在正平衡点(1,1)可分支5个小振幅极限环。

1基本定义及引理

考虑一类多项式实系统:

(2)

其中Xk(x,y),Yk(x,y)是关于x、y的k次齐次多项式。当δ=0时,系统(2)通过

(3)

变换,可变换为复系统:

(4)

(5)

其中:z、w、T、aα、bβ为复变量。

引理1[8]对系统(4),可逐项确定形式级数,

(6)

使得

其中,c00=1,当α<0,或β<0,或α=β>0时,置cαβ=0,其他情形cαβ由递推公式

(8)

确定。对任意正整数m,μm由递推公式

(9)

确定,其中μm称为系统(4)的第m个奇点量。

由文献[9]知,系统(2)的首个非零焦点量v2m+1(2π)与其伴随复系统的首个非零奇点量μm满足:

(10)

因此,系统(2)焦点量的计算可以化为系统(4)奇点量的计算。

2伴随复系统的奇点量

系统(1)有正平衡点(1,1),要讨论该平衡点分支问题,可将平衡点平移至原点。因平移变换不会改变系统的拓扑结构,系统在原点的分支情况与正平衡点分支类似。作u=x-1,v=y-1变换,将系统(1)变换为如下系统:

(11)

因此,可研究系统(11)的焦点量与分支情况。若直接计算系统(11)的焦点量,计算较复杂,且不易于计算机实现。为此,考虑将系统(11)转化为其对应的伴随复系统,用与焦点量等价的奇点量进行计算(焦点量与奇点量的关系参见文献[7])。而系统(11)经z=u+iv,w=u-iv,T=it变换,化为其伴随复系统:

(12)

其中:

再运用式(8)、(9),结合计算机代数系统Mathematica对系统(12)进行计算,可得其前5阶奇点量表达式。

定理1复系统(12)原点的前5阶奇点量为μ1、μ2、μ3、μ4、μ5,

情形1,当a+b=1,c+d=-1时,r=-1,F1=4,

情形2,当3a+5b=5,3c+5d=-5时,r=-5/3,F1=2/3,

情形3,当a+b≠1,c+d≠-1,3a+5b≠5,3c+5d≠-5时,

其中:

F1=4+5b-5d-6r+8br-8dr-6r2+

3br2-3dr2,

F2= 179+100b-30b2+30b3+136d+340bd-

30b2d-325d2+30bd2-30d3-105r+352br-

90b2r+30b3r-574dr+340bdr-30b2dr-

727d2r +30bd2r-30d3r-111r2-552dr2-

441d2r2-99r3-198dr3-99d2r3;

F3=-3193759+12337160b+10673660 b2+

468120b3+2862624d+13843380bd+

8743140 b2d+605015 d2+8267260 bd2+

1025560 b2d2-15364620d3+105500d4-

10705230 r-13712192br +10758980 b2r-

38227966dr-824580 bdr+7806900 b2dr-

29121293d2r +4343660bd2r+1025560b2d2r-

6867380d3r+5544425d4r-10527399 r2+

3812472 dr2+41741781d2r2+33239280d3r2+

5837370d4r2+12952179 r344466438dr3+

47108559d2r3+12626520d3r3-2967780d4r3+

1513710 r4+313740dr4-8141040d2r4-

11168460d3r4-4227390d4r4-861165 r5-

3444660dr5-5166990d2r5-3444660d3r5-

861165d4r5;

F4也为b、d、r的表达式,因其计算式较复杂,在此不再列举。

定理2系统(12)原点的前5个奇点量都为零的充分必要条件为以下3个条件之一成立:

1)a=-c≠0,b=-d;

2)a=b-1≠0,c=d+1≠0;

3)a=c=0。

1)若a=c=0,易得μ2=μ3=μ4=μ5=0。

2)若a≠0,c≠0(从a、c的关系可知只有这2种情况),将c=a(1+d)/(b-1)代入μ2关系式,得

由b-1≠0,1+d≠0,a≠0可得(b+d)[a-(b-1)]=0。b=-d时,a=-c;a=b-1时,c=d+1。

可通过数值方法算得F1、F2、F3、F4不可同时为0(证明见定理3),必要性得证。

3系统的极限环分支

定理3若μ1=μ2=μ3=μ4=0,μ5≠0,系统(12)有5阶细奇点,则系统(12)有5阶细奇点的充要条件为:

b≠-d,c≠d+1,a≠0,a+c=bc-ad,

(13)

证明充分性。由a+c=bc-ad,易知μ1≠0;又F1=F2=F3=0,故μ2=μ3=μ4=0,b≠-d,c≠d+1,a≠0,此时只要证明F1=F2=F3=0的情况下,F4≠0,即证得μ5≠0。这里可用2种方法检验。

1)Resultant(X,Y,g)是函数X、Y关于自变量g的结式[10],令h12=Resultant(F1,F2,b),h13=Resultant(F1,F3,b),h14=Resultant(F1,F4,b),n1=Resultant(h12,h13,d),n2=Resultant(h12,h14,d),利用Mathematica算符Solve[{n1=0,n2=0},r]计算发现,只有当r=-1或r=-5/3时,n1、n2可同时为零,而由定理1的情形2、3知,r=-1或r=-5/3时,μ5=0,这与条件矛盾,故n1、n2不可同时为零,那么μ2=μ3=μ4=0时,μ5≠0,充分性得证。

2)可用数值法求解同时满足3个方程F1(b,d,r)=0,F2(b,d,r)=0,F3(b,d,r)=0的根(b1、d1、r1)(F1、F2、F3的值见定理1),将所有满足b1、d1、r1为实数的根代入定理1的F4表达式,均可得F4≠0,充分性得证。

必要性。若μ5≠0,而μ2=μ3=μ4=0,则易得b≠-d,c≠d+1,a≠0,F4≠0,且F1=F2=F3=0;由μ1=0得a+c=bc-ad,故必要性得证。

式(13)实质是系统(1)正平衡点成为5阶细焦点的一个条件(对应于系统(12)原点成为5阶细奇点条件),但这种形式的条件不便在极限环的分析中应用,考虑求出未知数a、b、c、d的具体形式。因为方程组F1=F2=F3=0的精确符号解过于繁多,考虑用计算机代数系统Mathematica求出其近似解。可采用Mathematica算符NSolve[{F1=0,F2=0,F3=0},{b,d,r},50]将近似解精确到50位小数。有2组解满足条件,取其中一解:

所以可得a、b、c、d的近似解为:

(14)

定理4设系统(12)系数满足式(14),系统(1)系数相应确定,则系统(12)经过适当扰动(其线性部分扰动为(-y+σx,x+σy),σ充分小,高次部分对系数进行微扰),在原点的充分小邻域可分支5个极限环,即系统(1)在正平衡点(1,1)可分支出5个小振幅极限环。

证明 由式(10)知,焦点量与奇点量存在v2m+1=iπμm关系。类似于文献[11]中的引理2,欲证明系统(1)在正平衡点邻域可分支5个极限环,只需证明在式(14)成立的条件下,雅克比行列式

(15)

成立。经计算得

故通过微扰,系统(1)在正平衡点(1,1)处可分支5个小振幅极限环。

4结束语

捕食系统作为数学生态学中最基本的三大系统之一,对其相关问题的研究具有重大实际意义。讨论了一类Kolmogorov捕食系统在正平衡点处的极限环分支问题,证得复系统前5个奇点量均为零的充要条件,并利用雅克比行列式方法得到原系统在一定条件下可分支5个小振幅极限环。但系统的中心问题还有待解决,对该系统更高次的极限环分支问题,有待进一步研究。

参考文献:

[1]张江山.一类三次Kolmogorov系统极限环的存在性和唯一性[J].生物数学学报,1989(1):91-95.

[2]LLOYD N G,PEARSON J M,SEZ E.Limit cycles of a cubic Kolmogorov system[J].Applied Mathematics Letters.1996,9(1):15-18.

[3]陆征一,何碧.三次Kolmogorov捕食系统的多个稳定极限环[J].工程数学学报,2001,18(4):115-117.

[4]LLOYD N G,PEARSON J M,SEZ E,et al.A cubic Kolmogorov system with six limit cycles[J].Computers and Mathematics with Applications.2002,44(3/4):445-455.

[5]杜超雄,刘一戎,米黑龙.一类三次Kolmogorov系统的极限环分支[J].工程数学学报,2007,24(4):746-752.

[6]PENG Y H.Limit cycles in a class of Kolmogorov model with two positive equilibrium points[J].湘潭大学自然科学学报,2010,32(4):10-15.

[7]刘一戎,李继彬.论复自治微分系统的奇点量[J].中国科学(A辑),1989,32(3):245-255.

[8]刘一戎,陈海波.奇点量公式的机器推导与一类三次系统的前10个鞍点量[J].应用数学学报,2002,25(2):295-302.

[9]黄文韬.微分自治系统的几类极限环分支与等时中心问题[D].长沙:中南大学,2004.

[10]何青.计算机代数[M].北京:北京师范大学出版社,1997.

[11]YU P,CORLESS R.Symbolic computation of limit cycles associated with Hilbert’s 16th problem[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2009,14(12):4041-4056.

编辑:翁史振

Limit cycles of a cubic Kolmogorov system

WU Daiqin1, HUANG Wentao1,2, WU Yanlan1

(1.School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China;2.Department of Mathematics, Hezhou University, Hezhou 542800, China)

Abstract:Aiming at bifurcations of limit cycles of a cubic Kolmogorov predator-prey system at the positive equilibrium point (1,1), the real system is translated gradually into a complex system by the computer algebra system Mathematica, then the first five singular point values for the concomitant complex system are calculated, and the numbers of limit cycles at the positive equilibrium point can be deduced by Jacobi determinant. Five small amplitude limit cycles bifurcating from the positive equilibrium point can be concluded in the certain conditions.

Key words:positive equilibrium point; Kolmogorov system; limit cycle; singular point value

收稿日期:2015-11-24

基金项目:国家自然科学基金(11261013)

通信作者:黄文韬(1966-),男,广西永福人,教授,博士,研究方向为微分方程定性理论。E-mail:huangwentao@163.com

中图分类号:O175.12

文献标志码:A

文章编号:1673-808X(2016)02-0160-04

引文格式: 吴岱芩,黄文韬,吴燕兰.一类三次Kolmogorov系统的极限环[J].桂林电子科技大学学报,2016,36(2):160-163.

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