修正的谱共轭梯度算法在图像恢复中的应用

崔　青，朱志斌，王　硕

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林　541004)

修正的谱共轭梯度算法在图像恢复中的应用

崔青，朱志斌，王硕

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林541004)

摘要：为了求解反问题中大规模的无约束优化问题，基于经典的共轭梯度算法，提出了一种修正的谱共轭梯度算法。在Wolfe搜索下，证明了该算法的收敛性。数值实验表明了该算法在图像恢复中的有效性和可行性。

关键词：谱共轭梯度法；Wolfe搜索；收敛性；图像恢复

反问题是一个关于如何将观测和测量结果转化为物体或系统的信息的广义框架，是在数学与物理学中最重要和被研究最多的问题之一，其广泛出现在诸如计算机视觉、自然语言处理、统计学、医学成像(如计算机断层成像)中。

在反问题中，由于其不适定性，通常会将积分方程正则化。所谓正则化，即用一族与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解。而如何建立有效的正则化方法是反问题领域中不适定问题研究的重点。通常的正则化方法有TSVD正则化、Tikhonov正则化、全变差正则化等。而在正则化的实现过程中，需要利用一般的优化方法，如最速下降法、最小二乘法、牛顿法、共轭梯度法去求解正则解。

当今,图像恢复已经成为反问题研究的一个热点。它是利用图像退化的先验信息建立图像退化模型，比较准确地反演图像原始信息的一种图像处理技术，是人们获取图像信息、理解图像不可缺少的一个复杂过程，也是对图像进一步处理的基础。为此，提出了一种修正的谱共轭梯度法以获得更好的图像恢复质量。

1相关知识

图像去模糊模型为[1]

其中：v(x′,y′)为真实图像；k(x-x′,y-y′)为模糊核，也就是点扩散函数；u(x,y)为模糊图像。

基于正则化的方法，建立图像恢复的目标函数，并将合适的先验条件融入到目标函数中，通过最优化处理获得期望的解。

一般解决图像去模糊问题，考虑数据模型

其中：v、u、η分别为原始图像、模糊图像和噪声；K为模糊矩阵。由于恢复过程是一个病态问题，用Tikhonov正则化去逼近u=Kv+η，即

考虑非约束优化问题

minf(x),x∈Rn,

(1)

则求解问题的标准共轭梯度法的迭代公式为：

(2)

(3)

其中：gk为f(x)在点xk的梯度；dk为搜索方向；βk为标量；αk>0为由线搜索计算的步长因子。常用的线搜索有精确线搜索、Armijo线搜索、Wolfe线搜索等。βk有以下几种形式[2-4]:

自2018年1月1日到6月30日，李凌共审结各类刑事案件175件，其中含刑庭带到速裁庭已审结的39件疑难复杂案件，平均审理天数为40.5天。速调速裁庭新收的已审结的121件刑事案件,平均审理天数仅为28.9天，当庭宣判率高达60%以上,部分适用简易程序审理的案件6天内审结，大大缩短了案件的审理周期，提高了结案率。

其中：‖·‖为Euclidean范数；yk-1=gk-gk-1；sk-1=xk-xk-1。

文献[5-6]利用Wolfe线搜索

(4)

证明了DY方法的全局收敛性。在DY方法的基础上进行修正，提出了一个修正的谱共轭梯度算法

(5)

搜索方向为：

(6)

对任一线索搜

(7)

2算法及全局收敛性

2.1修正的谱共轭梯度算法

2)若‖g0‖≤ε，，则停止迭代，输出x*=x0；否则，进入步骤3)。

3)令xk+1=xk+αkdk，由式(5)、(6)计算dk。

4)由Wolfe准则确定步长αk。

5)令k∶=k+1，转步骤2)。

2.2修正的谱共轭梯度算法的收敛性

为了保证算法的收敛性，对目标函数作基本假设。

假设1[7]1)水平集Ω={x∈Rn|f(x)≤f(x0)}x有界；

2)函数f(x)在Ω的某一领域D内是连续可微的，且其梯度g(x)是Lipschitz连续的，即存在常数L，使得

从假设1可看出，存在正数B,γ>0，使得

引理1[8-9]若假设1成立，任一共轭梯度法的迭代形式xk+1=xk+αkdk，且αk满足Wolfe条件(4)，则

将式(7)代入，有

那么，

所以，

可得

这与引理1矛盾，因此

3数值实验

通过Matlab编程进行数值实验，以验证修正的谱共轭梯度算法的有效性和稳定性。应用Tikhonnv正则化，考虑图像去模糊问题

在数值测试中，用512 px×512 px的cell图像。由Matlab函数产生带有噪声的模糊图像。在恢复过程中，采用reflective边界条件。模糊矩阵为BTTB+BTHB+BHTB+BHHB。在Wolfe线搜索中，取ρ=0.35，σ=0.8，得到3幅图像，分别为原始图像、噪声及模糊图像和恢复图像，如图1～3所示。

图1　原始图像Fig.1　Original image

图2　噪声及模糊图像Fig.2　Noisy and blurred image

图3　恢复图像Fig.3　The restored image

数值实验结果表明，提出的修正的谱共轭梯度算法对图像的恢复是有效的。

4结束语

在传统共轭梯度算法基础上，对DY共轭梯度算法进行修正，从而达到预想的结果。该算法比修正前的DY共轭梯度算法在图像处理方面具有较大的优势。当然，此算法也可应用于其他方面。

参考文献:

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[7]DAI Zhifeng,WEN Fenghua.A modified CG-DESC-ENT method for unconstrained optimization[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2011,235(11):3332-3341.

[8]WAN Zhong,YANG Zhanlu,WANG Yalin.New spectral RP conjugate gradient method for unconstrained[J].Applied Mathematics Letters,2011,24(1):16-22.

[9]ANDREI N.A simple three-term conjugate gradient algorithm for unconstrained optimization[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2013,241(15):19-29.

编辑：梁王欢

A modified spectral conjugate gradient method and its applications in image restoration

CUI Qing, ZHU Zhibin, WANG Shuo

(School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

Abstract：Based on the classic conjugate gradient method, a modified spectral conjugate gradient method is proposed for the large-scale unconstrained optimization problem in the inverse problem. The algorithm is convergent under the Wolfe searching. Numerical experiments show that the proposed algorithm is effective and feasible in image restoration.

Key words：spectral conjugate gradient method; Wolfe searching; convergence; image restoration

收稿日期：2016-02-04

基金项目：国家自然科学基金(11361018)；广西自然科学基金(2014GXNSFFA118001)；桂林市科学研究与技术开发计划(20140127-2)

通信作者：朱志斌(1974-)，男，湖南双峰人，教授，博士，研究方向为最优化理论与算法。E-mail:zhuzb@guet.edu.cn

中图分类号：O224

文献标志码：A

文章编号：1673-808X(2016)02-0148-03

引文格式： 崔青，朱志斌，王硕.修正的谱共轭梯度算法在图像恢复中的应用[J].桂林电子科技大学学报,2016,36(2):148-150.