具有正系数的P-叶亚纯函数的新子类
2016-06-26杨静宇王晓英
杨静宇，王晓英
（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）
具有正系数的P-叶亚纯函数的新子类
杨静宇，王晓英
（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）
在本文中，我们利用一个由 Hadamard 卷积定义的线性算子来给出一类 P-叶亚纯函数的新子类，进一步的讨论该子类的系数不等式，偏差定理，邻域性质，等几何函数性质.得到比文献中更为广泛的结论.
Hadamard 卷积； 亚纯函数； 系数不等式； 领域
1 引言
那么称 f(z)是 α- 级亚纯星象函数.
那么称 f(z)是 α- 级亚纯凸星象函数.
定义函数 φp(a,c;z):
根据函数的 Hadamard 卷积的定义和函数 φp(a,c;z),引进线性算子 Lp(a,c)[5][6]
则称 f(z)∈Ls*p,j(a,c,A,B,α,m,ξ,μ,λ).
其中
那么(1.7)等价于
这就意味着存在一个柯西施瓦茨函数 w(z)，使得事实上
则
2 LS＊p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)的 系 数 不 等 式
其中
运用最大模定理，对于任意 z∈U，我们有
这意味着 f(z)∈LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)
相反的，假设 f(z)∈LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)那么我们有
因为对于任意的 z 都有 |Rez|≤z,选择正数 z 并且使 Mp,j(a,c,z,ξ)是实数,那么我们有
取 z 为实数，并且满足 z→1-，那么我们有
进一步我们得到
即
证毕.
3 偏差定理
进一步的
利用定理 2.1，我们可以得到(3.1).
4 LS＊p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)的 δ邻 域
根据 Aouf,Silverman 和 Srivastava[7]Good-man[12]和 Altintas 等早期的一些工作.我们来介绍 f(z)∈(ξ)的 δ 邻域的定义以及δ邻域相关性质.
其中
定 理 4.1 设形 如（1.1）的 函 数 属于函 数 类 LS*p,j(a+1,c, A,B,α,m;ξ,μ,λ)那么有
证 明 令 f(z)∈LS*p,j(a+1,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)那么根据定 理2.1，我们有
此式子等价于
进一步，对任意的
我们从(4.1)可以看出
根据(4.2)和(4.3)我们得出
根据定理 2.1 得出 g(z)∈LS*p,j(a+1,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)
且
因为
因此 g(z)∈Nδ'+(f),
但是
根据定理 2.1 我们得出 g(z)∉LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ).
5 改进的 Hadamard 卷积的相关性质
根据 Aouf,Silverman 和 Srivastava[7]早期的一些工作，我们讨论 LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ) 改进的 Hadamard 卷积的性质.
对于函数
f1(z)和 f2(z)的 改 进 的 Hadamard 卷 积 用(f1·f2)表 示 且 定 义如下:
定 理 5.1 设 fk(z)(k=1,2)∈LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)那么
其中
当函数 fk(z)(k=1,2)被给定为下列形式时，结论成立
证明 根据定理 2.1，我们需要找出最小的 γ 使得
因为 fk(z)∈LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ),那么我们有
根据柯西施瓦茨不等式，进一步得到
这暗示着我们仅需证明
或者是
利用不等式(5.3),足以证明
根据(5.4),我们有
定义函数 Φ(n)如下：
利用与定理 5.1 证明类似的方法，我们可以得到如下结论.
定 理 5.2 设 函 数 f1(z)形 如（5.1）且 属 于 LS*p,j(a,c,A,B,α, m;ξ,μ,λ),f2(z)同样形如（5.1）且于 LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)那么
其中
当函数 fj(z)(j=1,2)取为下列函数时，结论成立
定 理 5.3 设 fk(z)(k=1,2),形如（5.1）且属于 LS*p,j(a,c,A,B, α,m;ξ,μ,λ)定义 h(z)如下，
则 h(z)属于 LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,χ)且
当函数给定为（5.2）时，结论成立.
证明 根据定理 2.1，我们要找到最小的 χ 使得
因为 fk(z)∈LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ),(k=1,2)，我们有
根据(5.6)我们有
进一步的
根据(5.7),如果我们想要证明(5.5),只要证明存在最小 χ使得
即
现在我们定义 Ψ(n)：
Ψ(n)关于 n 是单调递减函数.因此，因此有
证毕.
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O174.5
：A
：1673-260X（2016）02-0001-05
2015 年 10 月 9 日
内蒙古自治区高等学校科学研究项目（NJZY13298）
