挖掘例题习题潜能 培养学生核心素养——以“等差数列的性质”教学设计为例

崔　峰

(江苏省苏州市工业园区星海实验中学，215021)

挖掘例题习题潜能培养学生核心素养
——以“等差数列的性质”教学设计为例

崔峰

(江苏省苏州市工业园区星海实验中学，215021)

今年三月份苏州市教科院组织的省级课题“基于核心素养的高中数学教学研究与实践”课堂教学观摩活动暨课题开题研讨会在我校举行.有关专家亲临现场,给予指导,并做了精彩的点评,笔者收获匪浅.以下是笔者关于“等差数列的性质”一节课的备课设想和教学过程.

一、教材分析

本节课选自苏教版必修5第二章中等差数列一节，是在学生已经学习等差数列概念、通项公式后,继续学习等差数列的性质而设计的.新教材重知识的形成过程，努力创造条件,为学生提供自由尝试的机会,让每个学生都能积极参与学习过程,主动探索知识,使课堂成为学生主动发展的空间,促进学生的自主发展.许多原教材中的性质、定理和相关结论,都放到例题、习题中体现.教育部《普通高中数学课程标准》修订组组长、博士生导师王尚志教授在“关于普通高中数学课程标准修订”的报告中,提出学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养.“数学的每一个结论、每一条规律,几乎都能找到令人赞叹的理由,几乎都能通过适当的方式,让学生有所感悟.”所以,在本节课的教学设计过程中,注重挖掘课本例题、习题潜能,与学生一起去探究,在夯实基本知识、方法的同时,发现并论证这些规律、结论,有意识地去培养学生数学抽象、逻辑推理的能力.

二、学情分析

本班的学生,是来自于苏州工业园区各初中学习习惯好、基础知识较好的学生.进入高中后,年级组为配合学校的新课程改革试点,高一每周只安排了五节课.按照高中数学教学参考书的课时安排,几乎每节课都是新授课,这就需要老师灵活设计学案,精巧安排课时.在打造苏式畅游课堂的背景下,将学案分成预习任务、课堂探究、巩固练习三个部分.整个年级要求学生先预习将要学习内容(学案中有说明),并完成学案第一部分,老师批改,检查预习情况后,再走进课堂.经过一学期的实践,培养了学生良好的学习习惯,增强了学生自学的能力,取得良好的教学效果.王尚志教授说:“中国高中数学教学大量刷题练速度的风气要扭转过来.教师的思路要开阔,胸怀要大.数学教学中不要无原则地搞一题多解,数学对思维的训练,主要是演绎与归纳的逻辑推理能力.”“数学是冰冷的美丽”，“老师的任务就是将这冰冷的美丽转化为学生火热的思考.”这些,都是进行课堂设计的基础.

三、教学目标与重点、难点

教学目标

(1)掌握“下标和定理”和常见的派生数列;

(2)在探究性质的活动中,培养学生从特殊到一般的数学抽象能力;

(3)在验证猜想的过程中,培养学生逻辑推理的能力.

重点、难点

(1)重点:等差数列的性质探究、证明及其简单应用;

(2)难点:等差数列性质的证明(逻辑推理).

四、教学过程

1. 创设情境 探究发现

一个小故事:

两百多年以前,一位9岁小孩的数学天赋使他的老师大吃一惊．

1787年,在德国一所乡村小学的三年级课堂里,数学老师出了一道计算题:1+2+3+4+5+…+98+99+100=______.不料,老师刚说完题目,班级里一位名叫高斯的学生就把他写好的答案交上去了.高斯解答的方法更使老师惊讶不已:高斯把这100个数从两头往中间,一边取一个,配起对来,1和100,2和99,3和98,…,共计配成50对,每一对两个数相加都等于101,因而原式=101×50=5 050.

问题1高斯求和的关键是他发现了什么?

学生:1+100=2+99=3+98=…

问题2若将1～100分别用a1,a2,…,a100表示,能用数列的语言描述这样的规律吗?

学生:a1+a100=a2+a99=a3+a98=…

点评上面的问题设置明确,具有启发、引导作用,是参与性的,不是指示性的,可以培养学生数学抽象的意识.老故事讲出了新意,也告诉学生要抓住问题的本质.

一个生活体验:

(课本第42页为求和设置的情境)一堆钢管堆成等腰梯形,最下面一层有10根,最上面一层有4根,下面一层比上面一层多一根,问一共有钢管多少根?

问题3同样将以这个例子数学化,你能发现怎样的规律?

学生:a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4.

老师:回顾预习任务单第4题(课本第40页题2.2(1):5(2)改编):已知在等差数列{an}中,a4=4,a8=-4,,a12=______；a2+a10=______；a5+a7=______; 2a6=______.

同样有a2+a10=a5+a7=2a6.

点评预习时的发现、猜疑,钢管数例子的强化刺激,使得“下标和定理”的出现顺利而自然;将求和部分课本设置的情境放到这里,很巧妙．

问题4你能概括出关于等差数列怎样的结论?

学生:若数列{an}是等差数列,当m+n=s+t(m,n,s,t∈N*)时,有am+an=as+at.

老师:有同学补充吗?

学生:当m+n=2s(m,n,s∈N*)时,有am+an=2as.

2. 验证猜想 享受成果

老师:我们探究出的结论正确吗?有待于严谨的证明.

例1(课本第41页习题2.2(1):15改编)若数列{an}是等差数列，

(1)当m+n=s+t(m,n,s,t∈N*)时,求证:am+an=as+at;

(2)当m+n=2s(m,n,s∈N*)时,求证:am+an=2as.

老师示范证明过程,巩固“基本量”的方法,培养严谨推理的意识(注意版面设计,保留推理过程).

师生共同总结:

(1)“下标和定理”:若m+n=s+t(m,n,p,q∈N*),则am+an=as+at.

注意公式特征:两项之和相等.

(2)特别地:若m+n=2s(m,n,s∈N*)时,则am+an=2as.

可以理解为am+an=as+as=2as,避免am+an=am+n这样的错误(回顾预习4).

(3)等差中项的关系式an+1+an-1=2an也是该定理的一种特殊情况.

点评重视推理证明的示范作用,等差中项的复习加深了对性质的理解、记忆;同时对方法“数学抽象——归纳猜想——推理证明”有更深刻的理解,体现了数学课堂对思维的训练.

例2(课本第40页习题2.2(1)5改编)若{an}是等差数列,根据条件解下列各题：

(1)a5=11,a8=5,求a6+a7;

(2)a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8;

(3)a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,求an.

本例放手让学生练习,以体会应用性质定理解题的方便、快捷.通过练习发现方法应用基本到位,但最后一问的出错说明数学运算能力的提高仍然任重而道远.

3. 感悟拓展 合理猜想

问题5“下标和定理”体现了两项和的关系,能发现更多项和的关系吗?

请同桌同学们讨论,举例探究,交流自己的猜想.

分享成果:若数列{an}是等差数列,则

(1)当m+n+p=s+t+q(m,n,s,t,p,q∈N*)时,am+an+ap=as+at+aq;

(2)当m+n+p=3s(m,n,p,s∈N*)时,am+an+ap=3as;

(3)当m+n+p=s+2t(m,n,s,t,p∈N*),am+an+ap=as+2at.

……

问题6如何证明?(学生反映热烈,对照老师留下的示范板演,证明顺利)

【看谁更快】已知数列{an}是公差不为零的等差数列,

(1)若a3+a5+a10=a2+a7+ak,则k=______;

(2)若a3+a5+a10=a4+2ak,则k=______.

“看谁更快”的练习,更是让所有同学“享受数学”，激发出同学们更多的探究欲望,也为下一个问题的提出打下伏笔,提出了逆命题正确与否的判断.

问题7“若数列{an}是等差数列,且am+an=as+at(m,n,s,t∈N*),则m+n=s+t.”

该命题正确吗?如何判断?

学生:显然正确.

师生共同回顾例1的证明,发现:当公差d≠0时,命题正确;当公差d=0时,命题不正确.体会刚才问题中的条件“公差不为零”是多么重要,再次说明严谨的逻辑推理是正确判断的关键.

点评由“正”及“反”的思考,使得思维加深了层次;从开始故意淡化条件,到回头发现条件的重要,如晨钟暮鼓,学生印象深刻.

4. 大胆探究 雏燕展翅

放手让学生研究,观察、思考:

问题8已知等差数列{an},{bn}中,an=n,bn=3n-1,求出a1+b1,a2+b2,a3+b3,…,观察各项,能发现怎样的规律?可以总结出一般结论吗?

例3(课本第41页习题2.2(1)15)已知数列{an}和{bn}是两个无穷等差数列,公差分别为d1和d2.

求证:数列{an+bn}是等差数列,并求它的公差.

老师分析:设cn=an+bn,或将an+bn看成一个整体,利用等差数列定义进行证明.(新数列的构造以及整体思想的应用使得解题更规范、流畅,然后板演示范)

问题9原问题再思考:若数列{an},{bn}是等差数列,

(1)数列{an-bn},{kan+c}(k,c是常数),{an·bn}呢?

(2)数列{a2n},{a2n-1},{a3n},{a3n-1},{a4n-1}呢?

师生合作探究发现:

(1)两个等差数列对应项的和(或差)构成的数列依然是等差数列;

(2)等差数列的奇数项(或偶数项)构成的数列依然是等差数列.(课本第37页练习6)

(3)若等差数列中项的下标等差,则这些项按原顺序仍为等差数列.

老师:“数学是智力的磨刀石,是必不可少的思维训练!”从归纳——探究——猜想——证明,我们找到了一个重要的方法,去研究数学,训练思维.

在学习中,我们总结出不少派生数列的性质,并利用整体思想,构造新数列,借助定义证明了我们的结论.尝试用这样的方法,研究下面这个问题:

(1)求证:数列{bn}是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

学生板演展示的结果是令人满意的,派生数列性质的研究又带给同学们新的方法、新的思考.

点评学生熟练、正确的解答,体现了课堂的成效,逻辑推理的核心素养得到彰显;同时也展现了学校学生良好的基础和优良的学风.

5.归纳总结 知识升华(略)

五、教后感悟

1.引导学生进行知识的再创造

作为老师,不应该把要传授的知识按部就班地向学生讲解,而应该引导学生探究,让学生把要掌握的知识进行“再创造”,从中体悟研究方法,这才是对思维真正的训练.

2.让学生学会做数学

让学生多活动,多讨论、思考、探究、运算.要留出更多的时间给学生,在失败中成长,在成长中发现,比老师的传授要深刻的多.

3.注意学习的层次性

学生学习是分层次的,每一个层次都不可跳过.若忽略较低层次,或者过早进入第二层次,那样的学习是低效的,只有亲身的感受和经历,才是再创造的源泉.

学生:不一定.还是要严格推理.