概念课教学设计要努力揭示数学本质——以“二元一次不等式所表示的平面区域”为例

成　亮

(江苏省南京市宁海中学，210024)

概念课教学设计要努力揭示数学本质
——以“二元一次不等式所表示的平面区域”为例

成亮

(江苏省南京市宁海中学，210024)

一个数学概念的背后往往蕴含着丰富的数学思想方法.有的数学概念,本质就是一种数学观念,是一种分析、处理问题的数学方法.一节好的概念课教学设计,应该努力揭示数学的本质,这样的课堂才会有数学味,才能培养学生分析问题和解决问题的能力.

随着新课程的不断深入发展,概念课教学受到了关注.通过概念课的教学,揭示数学的基本要素,越来越多地受到重视.本文试以“二元一次不等式所表示的平面区域”这节课的教学设计为例,谈谈怎样设计概念教学,揭示数学的本质.

一、明确教材地位,关注知识联系,确立教学目标

数学教材是教与学的主要依据也是教师与学生相互作用的中介，更是学生获取数学知识、开发智力和发展数学能力的源泉．数学教材并不等于教师的讲稿,教师在授课之前，必须深入学习《课程标准》,认真分析和研究教材，领会教材的编写意图.在此基础上科学地组织教学内容，选择教法，精心编写教案实施教学以圆满实现教学目标完成教学任务．所以说对教材进行分析是揭示数学知识、数学思想方法、数学知识之间联系的必备前提.本节课是苏教版必修5第三章不等式第三节的第一课时内容.不等关系在实际生活中很普遍,初中已经学过了最基本的一元一次不等式及其数轴表示,到高中又接触到二元一次不等式.教材从形的角度来研究它,平面区域就是它的形的表示,为后面二元一次不等式的应用打下基础.

本节课的教学目标为:

(1)学会从实际情境中抽象出二元一次不等式;了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域来表示二元一次不等式.

(2)体会数形结合、类比、特殊与一般的数学思想方法,提高分析问题、解决问题的能力.

(3)通过学生的主动参与、学生的合作交流,培养学生分析推理的能力，体验成功的乐趣.

二、创设实际情境,体现生活数学,确定研究对象

生活是数学的发源地,是数学的根,生活中处处有数学,因此,数学都能在生活中找到其产生的背景．《数学课程标准》指出:“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具．”既然数学来源于生活,那么我们的数学教学就不是单纯的知识传授,而应遵循源于生活,寓于生活的理念.要让学生体会到数学就在我们身边,感受到数学的趣味和作用.例如，在线性规划这一节，可以创设如下两个问题情境：

情境1某工厂生产甲、乙两种产品.生产1 t甲种产品需要A种原料4 t,生产1 t乙种产品需要A种原料1 t.现有库存A种原料10 t,若客户规定要乙种产品2 t,甲种产品根据工厂实际情况生产,则工厂最多能生产多少t甲种产品?

情境2某工厂生产甲、乙两种产品,生产1t甲种产品需要A种原料4t,生产1t乙种产品需要A种原料1t,现有库存A种原料10 t,若客户对工厂没有要求,则工厂能生产多少t甲种产品,多少t乙种产品?

问题这两个情境中包含了哪些不等关系?

设计意图课本上的情境是线性规划一大节的情境引入,题目也较长不适合这节课的引入.所以，笔者根据学生的知识背景将课本上的情境进行了拆分修改从而抽象出两个不等式4x+2≤10和4x+y≤10,让学生从一个一元一次不等式的概念引出二元一次不等式的概念.

提问1会求它们的解吗?(学生会求一元一次不等式解集,并能在数轴上用区间表示解集，但对于二元一次不等式不会解)

提问2你能说出4x+y≤10的几个解吗?(引导学生写成有序数对(x,y)的形式,有序数对构成不等式的解集,不等式的解集元素有很多，但学生能说出几个解，如(0,1)或(1,2)等等)

提问3你们所说的4x+y≤10的几个解在平面内对应的点能不能画出来?(让学生明白解集在平面内就是点集)

提问44x+2≤10的解集在数轴上是用区间来表示,那么4x+y≤10的解集对应的点在平面内是如何分布的,这些点会分布成怎样的区域?

有效的问题情境应该是基于学生的“最近发展区”,让学生在解决问题中产生认知冲突,通过提问引导学生与一元一次不等式的研究方式进行类比,从形的角度去寻找二元一次不等式表示的区域.一元一次不等式表示的是数轴上点的一侧区间,到二元一次不等式时学生很自然地会猜测是表示平面内直线的一侧区域,从而明确这节课研究的目标.

三、精心设计问题,经历概念生成,启迪学生感悟

《普通高中数学课程标准》指出“由于数学高度抽象的特点,要注意体现基本概念的来龙去脉．在教学中要引导学生经历由具体实例抽象数学概念的过程,在初步运用中逐步理解概念的本质．”概念教学通常围绕着概念的核心展开,实际上是掌握同类事物的共同、关键属性的过程,因此需要有一个从外到内、由表及里的过程.

探究:二元一次不等式4x+y≤10在平面直角坐标系中表示怎样的区域?

(首先让学生自主探究,让他们写出几个点看看分布情况,通过观察大胆猜测表示直线的哪一侧区域,如果学生探究有困难,教师进行指导并提出以下问题)

问题1写出4x+y≤10的几个解对应的点在直线4x+y=10的哪一区域?(左下方区域)

问题2不等式4x+y≤10的任意一个解对应的点A(x0,y0)在直角坐标系平面上，是否都在直线4x+y=10左下方区域?

证明:设P(x0,y1)在直线上,则y1=10-4x0而y0≤10-4x0,所以y0≤y1,所以点A在直线4x+y=10的下方

问题3反过来，位于直线4x+y=10左下方区域的点都满足不等式吗?

证明:由题可知x=x0时,点P(x0,y)在直线上,得y=10-4x0,因为点A(x0,y0)在直线左下方，则有y0≤y,即y0≤10-4x0,所以位于直线4x+y=10左下方区域的点都满足不等式.

问题4y≥kx+b与y≤kx+b分别表示直线y=kx+b哪一区域?

设计意图设计这四个问题突出了由特殊到一般的研究思路,让学生自主探究,相互讨论,教师在这个过程中只是引导与解惑.为了说明不等式的解集就是直线左下方区域(包含边界)从而设计了问题2与问题3,其实就是为了说明概念的等价性.这不仅体现了数形结合的思想方法,而且突出了数学概念的严谨性,证明过程不需要学生掌握,但要让学生感受数学概念的严谨.

通过探究，帮助学生归纳出一般的结论:

(1)y≥kx+b表示直线y=kx+b上方的平面区域,y≤kx+b表示直线y=kx+b下方的平面区域,包含边界．(对k不存在的情况简单说明)

(2)同侧同号

这样的问题情境能够使学生在问题的解决中体验到概念的产生、形成,体会到数学课浓郁的“数学味”,同时学生的分析、推理、联想等“思考力”得以提升.

四、精心选择例题,聚焦问题核心,提炼解决方法

一个好的例题往往承载着概念的本质,蕴含着丰富的数学思想方法．在形成一个新的数学概念后,精心选择有助于概念理解及运用的例题是概念的“精致”过程中不可替代的环节.

例1画出不等式2x-y+6≤0表示的平面区域.

设计意图学生可能会运用上面得到的两个结论运用两种方法：一是将不等式改写y≥2x+6,知道表示直线(包含)的上方;二是会有学生取特殊点判断平面区域,应给予肯定.最后教师概括:画二元一次不等式表示的平面区域的步骤为“直线定界,特殊点定域”,当直线不过原点时,常把原点作为特殊点.

练习:画出不等式2x-y+6<0表示的平面区域?

设计意图巩固“直线定界,特殊点定域”的方法,并让学生注意到边界虚实区别.

例2将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来(图1中(1)～(3)的区域不包括y轴).

设计意图进一步让学生领略二元一次不等式的解与其表示的平面区域的等价性.

五、重视课堂小结,抓住概念本质,体现概念升华

课堂小结应围绕本节课核心，抓住概念的本质.好的课堂小结是对课堂教学的整合、拓展、提高,是一个“画龙点睛”的重要环节.本节课课堂小结的做法是让学生从知识的内容和研究问题的方法对这节课进行回顾并相互讨论并小结,最后师生共同小结:

(1)如何作出二元一次不等式表示的平面区域?

(2)得到二元一次不等式表示的平面区域的研究方法?

通过这两个问题的思考,让学生自己来总结,达到了梳理主要内容和思想方法的目的.让学生得到结论固然重要,但得到结论使用的一些研究方法更重要,它揭示了数学概念学习的本质,最终达到“理解数学”的目的

《高中数学课程标准》指出:“高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态．”所以，我们教师在概念教学中千万不能“一个定义三项注意”式的教学.学习数学也绝不是死记定理、公式,不是空洞的解题训练,仅注重其形式,应抓住概念课的教育契机,认真设计概念教学,努力揭示数学本质性的东西,让学生经历知识的形成和发展过程.通过观察、归纳、思考、探索、交流、反思来参与到教学中来,认识和理解数学知识,学会学习,发展能力,使概念课教学切实有效.