遗传算法优化乘积混料试验最佳配比条件的研究*

赵 磊吴小娟，2任 雯王 祥王华芳魏 珍仇丽霞△



遗传算法优化乘积混料试验最佳配比条件的研究*

赵 磊1吴小娟1，2任 雯1王 祥1王华芳1魏 珍1仇丽霞1△

【提 要】 目的 评价遗传算法在乘积混料试验设计的实际研究中的优化效果。方法 利用Expert Design软件对混料设计的数据建立回归模型，并利用Genetic Algorithm Platforms v1.0软件进行单目标优化，并利用Mintab16.0软件绘制等高线图。将遗传算法所得结果与传统的等高线法结果进行比较。结果 通过遗传算法求得最佳配比分别为：氧化铷为52.4%，氧化锡为47.6%，氧化钛为0%，且煅烧条件在500摄氏度时，焊条的使用寿命达到32.60h。使用寿命比等高线法得到的最优值略高，说明遗传算法能够找到试验中的最佳配比及工艺条件。结论 对于乘积混料试验设计利用遗传算法进行单目标优化效果理想，可进一步应用于医药学领域。

【关键词】乘积混料试验 遗传算法 单目标优化 最佳配比

1.山西医科大学公共卫生学院卫生统计学教研室（030001）

2.滨州医学院附属医院

人们常常对物品的一种或几种特性感兴趣，而这些特性指标常与相应的各种成分在混料中所占的比例有关［1］。在混料试验中各混料因素的含量必须表示成混料的百分比，且他们的总和必须等于1［2］。针对不同的混料目的，提出了适合于不同的数据的混料设计［3］。乘积混料设计通常是将混料因素的单形重心或单形格子设计与另一类因素的二水平因素设计相乘构造试验方案［1］。虽然乘积混料设计理论已有一定的发展，2000年陈忠菊在含有过程变量的混料系统中使用Scheffe正则多项式加过程变量二次多项式模型［3］，但在医药学领域中的应用报道还较少。90年代以来，迅速发展起来的遗传算法是一种全局择优的优化算法，能够有效的解决优化问题。它在工程与科学研究中得到广泛应用，但在乘积混料设计方面的应用还少见。

本文引用乘积混料试验文献中的数据使用遗传算法来解决含有混料约束条件的乘积混料试验设计优化问题，为其提供合理的配方配比及工艺条件。此方法可以为最佳药物配比等医药学热点问题的研究奠定一定的理论基础。

方法与资料

1.乘积混料设计

若设有p个混料因素x1，x2，…，xp，k个过程变量z1，z2，…，zk，满足p-1 + k＜N，这里N为总试验次数，在通常试验中，K≤6。通常是将混料因素的单纯形重心或单纯形格子设计与另一类因素的二水平因素设计相乘构造实验方案，故称为乘积混料设计。对于含有过程变量的混料试验，通常有两种设计与分析方法。

（1）独立变量法：将p个混料因素变换为p-1个独立变量，w1，w2，…，wp-1。通常将变量wi（i =1，2，…，p-1）称为混料关系变量。此种设计方法即是将混料关系变量和过程变量这两种类型的独立变量集合组成一个独立变量集合，而后进行统一设计。此时，回归模型为：

式中ε为服从（0，σ2）分布的随机误差。显然，在模型含有过程变量的混料问题实际上是一个（p-1 +K）个独立变量的回归设计问题，通常zj（j =1，2，…，K）取二水平，故可用单形-重心2k设计安排实验方案，即在单形-重心设计2p-1个点的每一个点上都配置一套完全2k因素安排，或用单形-重心，即在zj的2k个组合的每一个点上都用单形-重心设计来配置一套混料试验。事实上这都是2p-1单形-重心设计与2k因素设计的相乘，即单形-重心设计*因素设计，即一种乘积混料设计。

（2）混料试验法：原封不动的将p个混料因素xi（i =1，2，…，p）与K个过程变量zj（j =1，2，…，K）相组合，再使用单形格子设计安排实验方案。此时回归模型为

Scheffe在考虑包含过程变量的混料问题时，把典型多项式模型中的系数看成是过程变量的多项式函数，这样得到的模型就是一个乘积模型，一个完全单纯形重心设计*因子设计，即在（2k-1）个单纯形重心设计点上，对一个过程变量进行完全因子试验，这个试验设计就是一个乘积设计。

乘积混料设计的设计步骤：第一步，确定混料试验的区域。第二步，通过坐标变换引入中间变量vi。第三步，通过正交变换引入中间变量ωi。第四步，进行混料设计，列出试验方案。

2.遗传算法

遗传算法通过交叉、变异、选择来实现，交叉和变异可产生下一代，其好坏根据适应度衡量，根据适应度的大小选择一定数量的个体，再继续进化，经几代后，其收敛于最优的种群。遗传算法的基本过程［6］如下：①随机产生初始染色体种群。②评价染色体的优劣。③选择优良的染色体作为新的种群。④交叉产生新的基因，组成进化程度更高的种群。⑤通过变异挖掘种群中个体的多样性，避免局部最优解的弊病。经过上述5个步骤继续对新的后代重复进行选择、交叉、变异，经过一定代数的进化就可以得到最好的染色体。

3.数据资料

引用文献《A mixture design approach to the service life and the oxygen evolving catalytic activity of Ru-Sn-Ti ternary oxide coated electrodes》中的数据［7］。采用乘积混料试验设计，研究氧化铷、氧化锡、氧化钛的不同比例以及不同煅烧温度对焊条使用寿命的影响。三种氧化物的百分比为x1、x2、x3，满足x1+ x2+ x3=1，过程变量即煅烧温度为z，当z =-1为400℃，z =+1 为500℃，使得焊条的使用寿命y达到最大。根据试验因素和评价指标选择乘积混料设计进行试验，各因素及其编码水平的试验方案及结果见表1

表1　乘积混料试验设计及结果

结 果

1.目标函数的模型建立

分别用x1、x2、x3表示涂层溶液中三种金属氧化物氧化铷、氧化锡、氧化钛的百分比，用y表示焊条使用寿命，利用Expert Design软件建立Scheffe多项式回归模型。

当z =-1时，即煅烧温度在400℃时，R2=95.26%

当z =1时，即煅烧温度在500℃时，R2=85.56%

约束条件为：x1+ x2+ x3=1

2.等高线法优化结果

利用统计软件mintab16.0绘制三维曲面图和等高线图：当z1=-1（煅烧温度=400℃），三维曲面图1可以直观看出测试函数的极大值大约在13左右的水平，等高线图2是图1的投影，通过等高线图我们可以直观的得到在约束范围内等高线上较优的值13.1730；当z1=1（煅烧温度=500℃），三维曲面图3可以直观看出测试函数的极大值大约在30左右的水平，等高线图4是图3的投影，通过等高线图我们可以直观的得到在约束范围内等高线上较优的值32.5952。因此，等高图法得到的最优解为：x1=0.5236，x2=0.4736，x3=0.0028；焊条使用寿命为32.5952h。

图1　焊条使用寿命曲面图（煅烧温度=400℃）

图2　焊条使用寿命等高线图（煅烧温度=400℃）

3.遗传算法优化结果

以构建的回归模型为目标评价函数，在其约束条件下，利用Genetic Algorithm Platforms v1.0软件进行优化，其参数设置为：

Problem Kind：function extremum Valid algorithms：decimal code

Crossover rate：0.8 Mutation rate：0.03

Population：100 Max time：5 Minute

由进化曲线图可知，焊条使用寿命的进化图（z =-1）即煅烧温度在400℃，大约在进化50代以后，搜索结果稳定，目标函数的最大进化值稳定在13.0h的水平；焊条使用寿命的进化图（z =1）即煅烧温度在500℃大约在进化40代以后，搜索结果稳定，目标函数的最大进化值稳定在32.0h的水平。

表2给出了遗传算法40次的运行结果，由进化结果可知，当z =-1时在约束条件范围内，目标函数的值基本稳定在13h左右的水平上；当z =1时在约束条件范围内，目标函数的值基本稳定在32h左右的水平上目标稳定、精确，显示遗传算法在全局范围内搜索最优解。

图3　焊条使用寿命曲面图（煅烧温度=500℃）

图4　焊条使用寿命等高线图（煅烧温度=500℃）

图5　焊条使用寿命的进化图（煅烧温度在400℃）

图6　焊条使用寿命的进化图（煅烧温度在500℃）

表2　焊条使用寿命解方案

由表2可知，焊条涂层液的最优配比条件可取39号方案，此时焊条的使用寿命可达到32.0629h，求得涂层溶液中三种金属氧化物RuO2、SnO2、TiO2的最佳配比分别为52.40%、47.60%、0，且煅烧温度也是1水平，即500℃，此时焊条使用寿命达到32.6029h。

4.等高线法与遗传算法优化效果比较

表3　等高线法与遗传算法优化效果比较

等高图法求得涂层溶液中三种金属氧化物RuO2、SnO2、TiO2的最佳配比分别为52.36%、47.36%、0.28%时，且煅烧温度为1水平，即500℃，此时焊条使用寿命达到32.5952h；遗传算法求得涂层溶液中三种金属氧化物焊条使用寿命达到32.6029h比等高线法结果略高，且其最佳配比条件基本一致。说明遗传算法应用于乘积混料试验设计，为其提供了一种较好的优化方法，且遗传算法提供了一系列较好的配方配比，使得焊条使用寿命较高，可供研究者根据实际情况选择。

讨 论

目前，国内外对于混料设计的研究主要集中于医药学，农业，轻工业领域，主要用到的优化方法有等高线法、加权法、爬山法等。这些方法存在着主观性强和只能在局部寻找最优的问题，不能很好的解决实际问题。因此，这些方法在应用中存在很大的盲目性，一定程度上限制了研究的合理性、科学性［10］。近些年发展的遗传算法是一种模拟生物自然进化的随机优化搜索方法，具有非常广泛的应用范围。它强调寻找全局最优点，可在传统数学方法无解的情况下进行极大值的寻优。

本文介绍的乘积混料设计主要应用于含有不同于混料因素的另一种类型因素的混料问题中，混料试验结果除了受混料因素的影响，还与温度、时间等过程变量有关；所谓的过程变量即是与混料组分无关，而在科研或生产过程中根据实际需要所取的变量。本文所选用的例子即为典型的乘积混料设计，焊条的使用寿命不仅与焊条表面涂层溶液中金属氧化物的比例有关，还与其煅烧温度有关。利用遗传算法进行单目标优化寻找最佳的配比及工艺条件，所得最优结果为氧化铷52.4%，氧化锡47.6%，氧化钛0%，煅烧温度为500℃。结果表明：遗传算法与传统的等高线法相比，其最佳配比条件基本一致，且结果略高于等高线法，但由于等高线法在选取最佳配比方案时具有较大的主观性，因此，利用遗传算法优化乘积混料试验设计的效果是令人满意的，为公共卫生事业资源分配以及最佳药物配比等医药学热点问题提供可行的方法，以正确的指导医药学研究中的混料试验问题。

参考文献

［1］任露泉.试验优化设计与分析.高等教育出版社，2003.

［2］张金廷.混料均匀设计.应用概率统计，1993，9（2）：168-175.

［3］J.A.Cornell.Experiments with Mixture Designs，Models，and Analysis of Mixture data.New York，Wiley，1990.

［4］陈忠菊，白玉.一种Scheffe多项式模型的D-最优正交区组设计.辽宁教育学院学报，2000，17（5）.

［5］Holland JH.Adaptation in natural and Artificial systems.Ann Arbor：University of Michigan Press，1975.

［6］李敏强.遗传算法的基本理论与应用.北京：科学出版社，2002.

［7］仇丽霞.多因素试验优化算法及医学应用.山西医科大学硕士论文，2003.

［8］王小平，曹立明.遗传算法理论、应用及软件实现.西安：西安交通大学出版社，2001.

［9］Shinmin Lin，Ten chin Wen.A mixture design approach to the service life and the oxygen evolving catalytic activity of Ru-Sn-Ti ternary oxide coated electrodes.Journal of applied electrochemistry，1993，（23）：487-494.

［10］周建淞.基于遗传算法的混料均匀设计优化分析研究.山西医科大学硕士论文，2011.

（责任编辑：邓 妍）

A Study of Genetic Algorithm to Optimize the Best Proportion and Processing Conditions of Product Mixture Design

Zhao Lei，Wu Xiaojuan，Ren Wen，et al.（Shanxi Medical University（030001），Taiyuan）

【Abstract】Objective To evaluate the optimizations of product mixture design based on genetic algorithm.Method Using expert design software to establish a regression model，using Genetic Algorithm Platforms v1.0 software to achieve single objective optimization with the data from mixture design and using Mintab16.0 software to draw contour plot.Compare the result from genetic algorithm and contour method.Results The best proportion calculated by genetic algorithm are rubidium oxide 52.4%，tin oxide 47.6%，titanium oxide 0%and the condition of calcinations at 500℃.The electrode service life reach up to 32.60h，the service life is a little higher that contour method.It indicates that using genetic algorithm can find the optimum proportion and technological conditions in product mixture design.Conclusion For product mixture design，using genetic algorithm to achieve single objective optimization，the effect is satisfactory.The method can be extended applied into the medicine field.

【Key words】Product mixture design；Genetic algorithm；Single objective optimization；Optimum proportion

*基金项目：山西省自然科学基金项目（2013011059-3）

通信作者：△仇丽霞，E-mail：qlx1126@163.com