三次曲线过定点的切线有几条？

2016-06-23安徽省太和中学

青苹果 2016年6期

关键词：割线易知过点

安徽省太和中学　岳峻

三次曲线过定点的切线有几条？

安徽省太和中学岳峻

一、问题的提出

引例（2014年北京卷）已知函数f（x）=2x3-3x。

（1）求f（x）在区间［-2，1］上的最大值。

（2）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围。

（3）过点A（-1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）

本题第（2）（3）问都是“过一点作三次函数图像切线的条数”的问题，且第（3）问只需写出结论，如何才能迅速地进行判断呢？有没有规律性的结论呢？

二、直线与曲线相切的概念

如图1，设曲线C是函数y=f（x）的图像，在曲线C上取点P（x0，y0）及与P邻近的点Q（x0+Δx，y0+Δy），过P、Q两点作割线，并分别过P、Q两点作x轴、y轴的平行线MP、MQ，又设割线PQ的倾斜角为β，那么MP=Δx，MQ=Δy。这就是说，就是割线的斜率。

图1

图2

如图2，当点Q（x0+Δx，y0+Δy）沿着曲线逐渐向点P（x0，y0）接近时，割线PQ将绕着点P逐渐转动。当点Q沿着曲线无限接近点P，即Δx→0时，割线PQ有一个极限位置PT，那么，直线PT叫作曲线在点P处的切线。

由直线与曲线相切的概念可知，切线是割线的极限位置，直线与曲线相切是一个局部的概念，因而直线l与曲线C可以同时相切于点A并相交于点B，比如曲线y=x3与直线y=3x+2在点（-1，-1）处相切，在点（2，8）处相交，如图3。

三、探究

对于函数f（x）=2x3-3x，过定点Q（x0，y0）的直线l与函数y=f（x）的图像相切，这样的直线l有几条？

设直线l与曲线y=f（x）相切于点M（t，f（t）），则切线方程为y-f（t）=f′（t）（x-t），

因为切线必过点Q（x0，y0），则y0-f（t）=f′（t）（x0-t），

所以y0-（2t3-3t）=（6t2-3）（x0-t），整理可得4t3-6x0t2+y0+3x0=0（*）。

显然，关于t的方程（*）有多少个不同的解，就有多少条不同的切线。

下面，我们来解决方程（*）的解的个数问题。

设g（t）=4t3-6x0t2+y0+3x0，则g′（t）=12t2-12x0t=12t（t-x0），

由g′（t）=0，得t1=0，t2=x0，

（1）当x0=0时，g′（t）≥0，g（t）单调递增，方程（*）有1个解。

（2）当x0≠0时，g（t）的两个极值分别为g（0）=y0+3x0，

（ⅰ）当g（0）g（x0）>0，即（y0+3x0）［y0-f（x0）］>0时，两个极值同号，定点Q（x0，y0）在不等式（y+ 3x）［y-f（x）］>0所表示的平面区域内，此时，函数g（t）只有1个零点，方程（*）有1个解（注意到函数f（x）=2x3-3x是奇函数，坐标原点是对称中心，等式y+3x=0所表示的直线恰好是曲线y=f（x）在原点处的切线）；

（ⅱ）当g（0）g（x0）=0，即（y0+3x0）［y0-f（x0）］=0时，定点Q（x0，y0）在等式（y+3x）［y-f（x）］=0所表示的曲线上，此时，函数g（t）有2个零点，方程（*）有2个解；