“构造法”在高中数学解题中的应用

刘显奋

【摘 要】分析构造法在高中数学中的重要性，指出构造法是高中数学中一种常见的解题方法，对提高学生解题效率有很大帮助。以例阐述构造法在解决高中数学问题中的具体应用。

【关键词】高中数学 试题解答 构造法

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）04B-0155-02

高中数学是高中阶段的主要课程之一，又是高考的重要考试科目，对学生的高考成绩有着重要影响，所以学好数学、掌握数学的解题方法、提高考试成绩是高中学生普遍面临的问题。解答数学问题需要学生有一定的思考能力、想象能力、分析能力以及运算能力。在此基础上，如果再能较好地运用构造法，就能比较快地提高数学学习成效。构造法是指在原来数学题目的基础上，通过对题目中各个条件以及结论的一系列假设，并结合所学的各种数学理论、公式构造出满足原题目中相关条件和结论的数学模型。本文以等差数列教学为例，探究构造法在高中数学解题教学中的巧妙应用。

一、构造法在高中数学中的重要性

高中数学对于很多学生来讲是一个大难题，为了有效地提高数学解题速度和准确性，学生要掌握一定的解题方法和解题技巧。构造法在解答数学问题的实际应用中有着重要意义。简单地讲，构造法其实就是利用数学模型对原题目进行满足题意的一种假设，进而达到解答问题的目的。构造法在高中数学解题过程中的应用实际意义就在于将题目中的“未知”条件转化为“已知”条件，具有一种特别的化归思想。数学中的数和形是相辅相成、不可分割的，可谓“数离开形少直观，形离开数难入微”。在解答数学过程中利用构造法可以通过直观的图形模式将已知量和解题关键准确表示出来，借助数形结合思想巧妙地解题。构造法不仅可以用图形方式进行解题，而且也可以用向量、方程、函数等方式进行解题，通过构造向量、方程以及函数来解答数学问题，帮助学生有效地解题。

二、构造法在高中数学解题中的实际应用

构造法是高中数学的重要解题方法，可适用于多种数学题型，所以学生有必要了解和掌握这种方法，以便提高自己的解题效率。典型的构造方法主要表现在构造辅助函数法、构造方程法、构造图形法、构造数列法及构造向量法。方程式是高中数学的重要学习内容，几乎贯穿整个高中数学课程，所以学生对方程式很熟悉。在高中数学题目中，方程式往往以与函数或者其他数学内容相结合的形式出现，这在很大程度上增加了题目的复杂性，提高了解题难度。在解答此类型题目时可以结合构造法思想，根据题目中的数量关系以及结构特征构造一个等量式，对题目中的方程式等量、未知量相关性进行分析，使数学题目更为具体化、直观化以及简单化，进而让学生迅速计算出正确答案。

如题目“如果（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0，求证m，n，x为等差数列”。这个题目中如果采用一般解题方法会很复杂，而如果采用构造法将题目中的条件与结论联系起来就变得简单很多，结合题目构建方程式：（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0，假设△=（m-n）-4（n-x）（x-m），则可得△=0，那么所构建方程式中的实数根相等，进而得出t=1，所构建方程式的两个实数根均等于1。然后结合韦达定理得出m+n=2x，由此可以证明题目中m，n，x为等差数列。这种类型的题目对于很多学生来讲是有一定难度的，但如果结合特殊方法就可以将难题简单化，并快速得到正确答案。

又如，向量是数学研究的一种重要应用工具，具有一定抽象性和复杂性，不论是在高中数学中的不等式证明、平面几何、函数还是方程等题型中都有重要的应用价值。对于题目中比较复杂的数学模型，学生可以结合题意通过联想构造向量的方法将复杂问题简单化。例如题目：

m，n，a，b，c，d∈R+，而且，，请判断 p 和 q 的大小。

该题目的解答过程中可以先将 p 和 q 的表达式转化为向量形式，并引入两个代向量 h和 k，使，，通过分析可以由 h 和 k 的乘积对不等式进行简化。根据不等式的基本性质可得，将各个量值代入，经过关系转化、运算后可得到，即 p≤q。

再者，函数在高中数学题目中一般会和方程放在一起。函数、方程均为高中数学教学的关键内容，是高中数学考试的重点、热点，同时也是难点。函数具有一定抽象性，所以对学生的空间想象能力以及分析能力要求较高，是困扰学生的主要数学问题之一。对于高中数学函数题型，学生需要有针对性的解题思想，掌握有效的解题技巧，通过特殊渠道将复杂、抽象的函数问题直观化、简单化，进而找到解题主线，得出正确答案。高中数学的很多题目中，不论是几何题型还是代数题型都含有一定的函数思想，因此在解答过程中要对问题进行分析、想象，充分利用函数构造方法对题目中的数量关系进行简化再进行解答，这样思路就清晰很多。

例如题目“m，n，a∈R+，且n

还有，在解决高中数学问题中，选择图形解题方法，可使复杂抽象的问题简单化或者形象化，增加问题的直观性，有助于培养学生的数形结合思想。

例如，，其中（0≤x≤4），对其最小值进行求解。

依照题意可对该题目实施图形构造，通过构造直角三角形，尽可能地简化该问题。

通过分析图1，可得出AB⊥BD，AB⊥AC，当AB，AC，BD的取值设定为4，1，2时，在AB上有一个动点O，为此设AO=x，此时就可以得出，，如果想要的值最小，只需要将OC+OD的最小值求出，就可以得出的最小值。

构造法是数学解题中常用的一种方法，其在数学解题中应用不仅能够帮助学生开拓解题思路，而且对培养学生的创新能力和多元化思维具有重要的作用。构造法的应用在一定程度上对学生的思维能力以及创新能力的培养有促进作用。

综上所述，高中是一个比较特殊的学生阶段，由于面临着高考的问题，高中学生的课程繁多，每天都要浸泡在浩瀚如烟的习题中，给学生造成极大的压力。伴随着现代教学模式的不断改良，过去的教学形式已经难以顺应现代的高中教学发展。构造法作为一种创新式的解题方式，不仅更好地发挥了学生的积极主动性，而且极大地改良了数学解题模式，对于学生自主分析能力的提升方面有着很好的促进作用，对高中数学教学质量的提高起着至关重要的推动作用，值得在数学教学中积极倡导与应用。

【参考文献】

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[5]李红春.善构造巧解题——例谈构造法在数学解题中的应用[J].中学数学，2013（7）