加权Besicovitch-Eggleston集的Hausdorff维数

董秀英， 刘卫斌

(武汉大学 数学与统计学院， 湖北 武汉 430072)



加权Besicovitch-Eggleston集的Hausdorff维数

董秀英， 刘卫斌*

(武汉大学 数学与统计学院， 湖北 武汉 430072)

摘要：研究符号空间上的一类特殊的加权Besicovitch-Eggleston集,即具有右可重排性质的元胞自动机作用下的加权Besicovitch-Eggleston型集。通过构造一个概率测度及应用Billingsley定理，得到此类集合的Hausdorff维数dimHEF,P。关键词: 符号空间； 加权Besicovitch-Eggleston集； 元胞自动机； Hausdorff维数

MR subject classification: 28A78

并在1934年证明了它的Hausdorff维数

(i=0,1,…,c-1)},

Eggleston证明了

集合Eq亦被称作Besicovitch-Eggleston集。

文献[3]研究{0,1}N符号空间上的加权Besicovitch集，并计算其Hausdorff维数，本文主要将其向c个字符的符号空间作推广，研究符号空间Ω={0,1,…,c-1}N上在右可重排的元胞自动机作用下的加权Besicovitch-Eggleston集，并给出其Hausdorff维数的计算公式。

为方便起见，介绍文中用到的记号：

(本文假设每个dk均存在)。

(2) 令A={0,1,…,c-1},Ω=AN={0,1,…,c-1}N是c个字符的符号空间，∀x=x1x2…∈Ω,∀n∈N,Nk(n)表示集合{Mk∩[1,n]}的势，即

(0≤j≤c-1)。

(1)

(2)

(4)ψkj(x,n)表示符号j在x的Mk∩[1,n]项中出现的频率，即

(5)B=(pij)l×(c-1)是一个矩阵且满足pij≥0

(1≤k≤l，规定0log 0=0)。

(3)

我们将确定它的Hausdorff维数。

从元胞自动机的观点看，易知(1)式等价于如下形式：

其中σ是Ω→Ω上的移位映射，σ(x)=(xi+1)i∈N，∀x=(xi)i∈N。注意到映射σ是具有右可重排性质的元胞自动机，因此(1)式只是(2)式的特殊形式。

1预备知识

有关Hausdorff测度及Hausdorff维数的相关的定义和性质参见文献[5]，下面给出文中用到的性质、定义和引理：

定理1设D⊂Rn，若f:D→Rm为双利普希茨变换，即

c1|x-y|≤|f(x)-f(y)|≤

c2|x-y|(x、y∈D),

其中0

pij≥0(i=1,2,…,l;j=0,1,…,c-1),

令

则

详细证明见文献[4]中定理3。

有关符号空间的一些定义如下：

d(x,y)=c-inf(i:xi≠yi}。

定义1设X是一个紧空间，T：X→X是连续映射，则称(X,T)是动力系统。对于两个动力系统(X，T)和(Y，G)，如果存在一个连续的双射φ:X→Y满足φ∘T=G∘φ，则称(X，T)和(Y，G)共轭。

下面对元胞自动机作简单的介绍，关于元胞自动机的知识可参见文献[8-10]。

定义2如果存在半径r∈N和局部规则f:Ar+1→A使得

F(x)i=f(xi,…,xi+r), ∀x∈Ω。

称映射F：Ω→Ω为元胞自动机。

例1Ω上的移位映射

σ(x)=(x2x3x4…),其中x=(x1x2x3…)∈Ω,以及{0,1}N上的求和映射

F(x)i=xi+xi+1, (mod 2)=:(xi+xi+1)2,

∀i≥1其中x=(x1x2x3…)∈{0,1}N都是半径为1的元胞自动机。

Hedlund[10]给出了元胞自动机的一个判别法则。

定理2[10]映射F：Ω→Ω为元胞自动机当且仅当映射F在空间Ω上是连续的，并且与移位映射σ是可交换的，即F∘σ=σ∘F。

下面介绍一类重要的元胞自动机——具有右可重排性质的元胞自动机。

定义3如果∀u∈Ar和∀b∈A，都存在唯一的a∈A满足f(ua)=b,则称(Ω,F)具有右可重排性。

例2(1)Ω上的移位映射σ的局部规则是f(xi,xi+1)=xi+1，从而具有右可重排性。

(2) {0，1}N上的求和映射F具有右可重排性。

性质1具有右可重排性的元胞自动机(Ω,F)是满射，但不是单射。

引理2设F是Ω上半径r≥1的自动机，且具有右可重排性，那么(Ω,F)共轭于(Ω,σr)。

证明定义映射φ:Ω→Ω为

φ(x)=x1x2…xrF(x)1F(x)2…F(x)r…

Fn(x)1…Fn(x)r…,x=x1x2…∈Ω。可以证明φ是一个连续的双射，且是等距映射，并且满足φ∘F=σr∘φ，由共轭的定义即得引理成立。

2主要结果及其证明

我们先证明当元胞自动机F取为移位映射σ时，集合EF,P的Hausdorff维数，即下面定理中集合EP的Hausdorff维数。

定理3令l是一个有限的正整数，P=(p1,p2,…,pc-1),0≤pj≤1(1≤j≤c-1)，集合

则

证明(1) 因为

由Lagrange乘数法知

(k=1,2,…,l;j=1,2,…,c-1),

(4)

(j=1,2,…,c-1),

(5)

由(4)、(5)式得

则

(j=1,2…,c-1),μ*a.e.x∈Ω。

因此,

此即证明了μ*(EP)=1。由Billingsley定理[4]即知

注1当l=1时，EP即是经典的Besicovitch-Eggleston集，定理3的结论与Eggleston定理[2]是一致的。

下面我们将对一般的具有右可重排性质的元胞自动机F确定集合EF，P的Hausdorff维数。

定理4设F是Ω上半径为r≥1的元胞自动机，并且具有右可重排性，对于给定的概率向量P=(p1,…,pc-1),其中0≤pj≤1(1≤j≤c-1)且

集合

则集合EF,P的Hausdorff维数为

证明由引理2知，存在等距映射φ:Ω→Ω定义为

φ(x)=x1x2…xrF(x)1F(x)2…F(x)r…

Fn(x)1…Fn(x)r…,x=x1x2…∈Ω，

并且满足φ∘F=σr∘φ，则有如下等价关系：

(1≤j≤c-1)⟺

pj(1≤j≤c-1)⟺

pj(1≤j≤c-1)⟺

令

3结论

在右可重排元胞自动机作用下的Besicovitch-Eggleston型集的Hausdorff维数与元胞自动机的半径相关，与元胞自动机的具体形式无关。

参考文献：

[1]BESICOVITCHA.Onthesumofdigitsofrealnumbersrepresentedinthedyadicsystem[J].MathematischeAnnalen,1934,110(1):321-330.

[2]EGGLESTONHG.Thefractaldimensionofasetdefinedbydecimalproperties[J].QuarterlyJournalofMathematics(OxfordSeries),1949,20(2):31-36.

[3]XIEYQ,WENZX,YUM.DimensionsofWeightedBesicovitchsets[J].ActaMathematicaSinicaEnglishSeries,2010,26(4):711-716.

[4]XIEYQ,WENZX.DimensionsofmodifiedBesicovitch-Egglestonset[J].ScienceinChina:SeriesAMathematics,2006,49(2):245-254.

[5] 文志英.分形几何的数学基础[M].上海：上海科技教育出版社，2000:43-49.

[6]SHERESHEVSKYMA.Ergodicpropertiesofcertainsurjectivecellularautomata[J].MonatsheftefürMathematik,1992,114(3/4):035-316.

[7]YUM,WENZX,XIONGY.TheHausdorffDimensionofweightedBesicovitchset[J].JournalofMathematics,2007,27(2):141-144.

[8]LINDD,MARCUSB.Anintroductiontosymbolicdynamicsandcoding[M].Cambridge:CambridgeUniversityPress,1995.

[9]KURKAP.Topologicalandsymbolicdynamics[M].Paris:CoursSpécialisés-CollectionSMF,2003.

[10]HEDLUNDGA.Endomorphismsandautomorphismsoftheshiftdynamicalsystem[J].TheoryofComputingSystems,1969,3:320-375.

〔责任编辑宋轶文〕

Hausdorff dimensions of weighted Besicovitch-Eggleston sets

DONG Xiuying, LIU Weibin*

(School of Mathematics and Statistics, WuHan University, Wuhan 430072, Hubei, China)

Keywords:symbolic space; weighted Besicovitch-Eggleston sets; celluar automata; Hausdorff dimension

Abstract:A class of weighted Besicovitch-Eggleston sets by the action of cellular automata which is right permutive in symbolic space were studied.By constructing a probability measure and applying Billingsley′s theorem,we obtain explicit formulas for their Hausdorff dimensions dimHEF,P.

文章编号：1672-4291(2016)03-0011-06

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2016.03.133

收稿日期：2015-07-09

基金项目：国家自然科学基金(11171128); 中央高校基本科研业务费专项资金(2012201020204)

*通信作者：刘卫斌，男，讲师，博士。E-mail:weibinliu@whu.edu.cn

中图分类号：O174.12

文献标志码：A