“圆的面积”教学实录及思考

2016-06-19陈金飞

小学教学(数学版) 2016年10期

关键词：圆的面积等份方格

◇陈金飞

“圆的面积”教学实录及思考

◇陈金飞

一提供观察情境，为建立空间观念作铺垫

师：（出示动画：一只被绳子拴着的羊在草地上转一圈，如图1）用数学的眼光观察这个画面，求羊活动的范围有多大，就是求圆的什么？

图1

生：圆的面积。

师：如果这只羊想要扩大它的活动范围，你能帮它想个办法吗？

生：可以把绳子拉长。

师：（课件演示拉长绳子，羊运动一周成一个新的圆，如图2）圆的面积变大了，说明圆的面积和什么有关？

生：圆的面积和半径有关。

图2

师：那圆的面积和半径之间会有怎样的关系呢？让我们带着这个问题开始今天的探究之旅。

教后畅想：创设羊吃草的情境，揭示圆形区域的大小取决于绳子的长短，从而使学生自己抽象出“圆面积的大小是由圆的半径决定的”。

二创设操作情境，建构空间观念

1．回顾相关知识，唤起经验，铺垫探究新知之基。

师：大家回顾一下，我们学过哪些平面图形的面积？

生：我们学过长方形、正方形、三角形、梯形、平行四边形的面积。

师：那还记得我们是怎样推导出这些面积计算公式的吗？

生：长方形的面积计算公式是用数方格的方法推导出来的，平行四边形是转化成长方形推导出它的面积计算公式的。

生：三角形和梯形是用两个完全一样的图形拼成一个平行四边形，走的也是转化之路。

图3

师：在回顾旧知的过程中，陈老师有一个疑惑：我们一开始是用数方格的方法来推导面积计算公式，那么往后为什么走的都是转化之路呢？

生：因为如果用数方格的方法来测量三角形或平行四边形的面积，方格可能有的多出一些，有的少一些，没法准确地测量。

教后畅想：用方格度量图形的面积，是基于面积的意义，但用来测量平行四边形等图形的面积时已感受到不精确、不方便，因而凸显用转化的方法更为简捷。而圆面积计算公式的推导是小学教材中实现“化曲为直”的唯一题材，在有限的教学时间里，如何实现“化曲为直”才是我们应放大的视角。

2.呈现学习困境，引发矛盾，积蓄思维突破能量。

师：那你们打算用什么方法研究圆的面积？

生：我觉得应该用转化法，因为如果用数方格的方法，方格会多出来，而且还有一些方格直接露在外面，根本没有进去。

师：如果圆的边线变直了，测量就变得方便、精确了。明白了这点，接下来咱们就想办法把曲变直。

（板书：化曲为直。从1号信封中取出圆片，四人小组一起交流。学生动手操作后，集体交流展示）

师：先观察图4这几种折的方法，有什么想法？

图4

生：折成正方形不行。

师：说说你的理由。

生：把弯曲的部分折掉了。

师：看来这种方法不行，面积变小了。再来看另外两种折的方法，你有什么发现？

生：折的次数越多，底边就会变得越平。

师：真善于观察，那为什么不继续往下折呢？

生：纸太厚了，不能再往下折。

师：看来光用折的方法，不能实现化曲为直。观察图5这两个剪拼成的图形，有什么想法？

图5

生：左面的正方形不行，这个图形变大了。

师：看来转化时不能增加图形的面积，也不能减少图形的面积。观察右边这个图形，看有什么不足？

生：底边不平，弧线太弯了。

师：受折的启示，是否可以让底边变得平直些呢？

生：如果分割的份数多一些，拼出的图形底边会变得平直一些。

3．感悟数学思想，分割转化，实现极限思想飞跃。

师：事实真的如此吗？借助电脑帮忙。（多媒体展示图6）

图6

师：观察图形的变化，你发现了什么？

生：随着剪的次数增加，剪出的每一份底边变得越来越平直。

师：观察力真强，把掌声送给他！发挥我们的想象力，如果继续往下分，最后会分出一个个怎样的图形呢？

（电脑演示继续分割）

生：如果无限地往下分，我觉得会变成一个个很小的“三角形”。

师：你认为呢？

生：越来越小，说不定那个“三角形”就没有了。

生：（反驳）不可能没有，我觉得最后会变成一根针。

师：你还有什么想法？

生：越来越小，越来越小，就变成一根线了。

师：你的想象力真强，跟数学家的想法不谋而合。看来我们继续把圆分割下去，拼出的图形底边会变得更“直”，打开2号信封，同桌合作把圆片分成8等份和16等份并进行剪拼的任务。

（生动手操作）

师：孩子们，让我们一起来观察拼出的图形，（如图7）你发现了什么？

图7

生：我觉得它们越来越像平行四边形。

师：你从哪儿看出来的？

生：我发现它们上下两条边越来越平直。

师：怎样变得更直？

生：继续分割。

师：还想分割下去吗？我们请电脑帮忙，观察把圆分成32等份后，拼出的图形会有什么不同。

（电脑演示把圆分成32等份）

生：我觉得有点像长方形。

师：刚才我们说拼出的图形越来越像平行四边形，现在我们发现再往下分的话，拼出的图形越来越像——

生：长方形。

师：那怎样让它更像长方形呢？

生：继续往下分。

师：好，咱们继续往下分。（电脑演示把圆分成64等份）让我们闭上眼睛想象一下，如果无限分割这个圆片，最后会拼出一个怎样的图形呢？

（电脑出示“无限分割”）

生：我觉得最后会拼出一个长方形。

生：老师，我有一个疑惑，圆是曲线图形，边是弯的，怎么会变得直了呢？

师：你的疑惑曾困扰人们几千年，谁愿意来解释一下弯的怎么会变直了？

生：随着分的份数增多，每块图形越来越像一根线（即线段），线是没有弧度的。

师：解释得真好，感谢这名同学。孩子们，我们把圆通过无限分割，居然转化成了一个长方形，实现了“化曲为直”。这个思想，在数学发展史上是有开创性意义的。观察一下，转化后的长方形和原来的圆有什么联系呢？如何由长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式呢？同桌交流，把讨论的结果记录在研究单上。

（生四人小组交流）

生：我们通过观察发现长方形的面积等于圆的面积，长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径。

……

教后畅想：多媒体演示由圆分出的一块小扇形的变化，让学生真切地感受到无限分割后，小扇形的弧线最终变成一条“线段”。从而联想到圆经过无限分割，化曲为直，转化为长方形，从而发展空间观念。

三回归生活情境，强化空间观念

计算羊吃到的草地最大面积。（略）

四引入历史情境，提升空间观念

师：回顾一下，这节课你有哪些收获？

生：我学会了圆的面积计算公式。

生：我知道了圆的面积是半径平方的π倍。

生：我懂得了圆经过无限分割，最后实现化曲为直，转化为长方形。

师：（小结）是呀，重要的不只是会算圆的面积，更重要的是通过无限分割，实现化曲为直。这一思想是17世纪德国数学家开普勒开创的，下面我们一起来听一听他当初的想法。

开普勒是17世纪誉满欧洲的数学家。在他之前，数学家们都是通过从圆内接正多边形入手，让边数成倍增加，用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积，（如图8）不仅计算复杂，而且所得结果都是近似值。开普勒受切西瓜的启发，把圆分割成无穷多个小扇形，每个小扇形都可以看成等腰三角形，每个三角形的顶点都是圆心，因而它们的高都等于圆的半径，所有底边连起来的长度之和就等于圆的周长。当把这些小三角形等积变换后，就成了一个大的直角三角形。（如图9）大三角形的面积，就是圆的面积。