椭圆曲线y2=nx(x2-2)的整数点

李润琪，刘　霄

(1.德宏师范高等专科学校数学系，云南 芒市 678400；2.张家口市第七中学，河北 张家口 075000)



椭圆曲线y2=nx(x2-2)的整数点

李润琪1，刘霄2

(1.德宏师范高等专科学校数学系，云南 芒市 678400；2.张家口市第七中学，河北 张家口 075000)

摘要：目的椭圆曲线的整数点是数论中的一个重要问题。关于椭圆曲线y2=nx(xI2-2)的整数点问题至今仍未解决。方法利用同余、Legendre符号的性质等初等方法。 结果证明n≡3(mod8)为奇素数时椭圆曲线y2=nx(x2-2)无正整数点；n≡5(mod8)为奇素数时椭圆曲线y2=nx(x2-2)至多有2个正整数点。结论此结果推进了该类椭圆曲线的研究。

关键词：椭圆曲线；正整数点；奇素数

椭圆曲线的整数点是数论和算术代数几何学中基本而又重要的问题。关于椭圆曲线的整数点问题，目前集中在研究椭圆曲线y2=(x+r)(x2+px+q)及y2=nx(x2±p)。关于椭圆曲线y2=(x+r)(x2+px+q)的整数点问题，文献[1～4]已有一些结论。关于椭圆曲线y2=nx(x2±1)的整数点问题，文献[5～10]已有一些结论。而关于椭圆曲线y2=nx(x2+2)的整数点问题，目前主要结论为：2010年，文献[11]证明了当n是适合n≡5或7(mod8)的奇素数时，方程y2=nx(x2+2)无非零整数解；2009年，文献[12]证明了当p≠3为奇素数时，如果p≡5或7(mod8)，则椭圆曲线y2=px(x2+2)没有正整数点；如果p≡1(mod8)，则椭圆曲线y2=px(x2+2)至多有一组正整数点；如果p≡3(mod8)，则椭圆曲线y2=px(x2+2)至多有2组正整数点；2011年，文献[13]证明了如果n的素因素p都满足p≡5或7(mod8)，则方程y2=nx(x2+2)无非零整数解。而对于椭圆曲线：

y2=nx(x2+2)

(1)

的整数点问题，目前还没有相关结论，本文主要讨论椭圆曲线(1)的正整数点，得出了以下结论：

定理如果n为奇素数，则n≡3(mod8)时椭圆曲线(1)无正整数点；n≡5(mod8)时椭圆曲线(1)至多有2个正整数点。

引理1[14]a，b∈Z+,则方程ax4-by2=1至多有2组正整数解。

证明详见参考文献[14]中444～446页。

定理证明设(x,y)是椭圆曲线(1)的正整数点，因为n为奇素数，故由(1)知n|y，设y=nz，z∈Z+，将其代入(1)，得

nz2=x(x2-2)

(2)

因为gcd(x,x2-2)=gcd(x,-2)=1=gcd(x,2)=1或2，故方程(2)可分解为以下2种情况：

情形Ⅰx=na2，x2-2=b2，z=ab，a,b∈Z+，gcd(a,b)=1

情形Ⅱx=a2，x2-2=nb2，z=ab，a，b∈Z+,gcd(a,b)=1

情形Ⅲx=2an2，x2-2=2b2，z=2ab，a，b∈Z+,gcd(a,b)=1

情形Ⅳx=2a2，x2-2=2nb2，z=2ab，a,b∈Z+,gcd(a,b)=1

情形Ⅰ由x2-2=b2可得2=x2-b2=(x+b)(x-b)≥x+b≥2b+1≥3，矛盾。故x2-2=b2不成立，因此情形Ⅰ不成立。

情形Ⅱ由第(1)式和第(2)式知此时gcd(x,2)=1，故此时x为奇数，故x2-2也是奇数，又n为奇素数，则由(2)知z为奇数，故a,b均为奇数，因此，a2≡1(mod)8,b2≡1(mod8)。

将(1)式代入(2)式得

a4-2=nb2

(3)

由a2≡1(mod8)得a4≡1(mod8)，则a4-2=7(mod8)；又n≡1,3,5(mod8)，则由b2≡1(mod8)得nb2≡1,3,5≡(mod8)，故有7≡a4-2=nb2≡1,3,5(mod8)，矛盾，因此情形Ⅱ不成立。

情形Ⅲ将(1)式代入(2)式得

2n2a4-1=b2

(4)

对(4)式两边同时取模n，得

-1≡b2(modn)

(5)

又由(4)，得

2n2a4-b2=1

(6)

故由引理1知，方程(6)至多有2组正整数解，故n≡5(mod8)时方程(2)至多有2组正整数解，即椭圆曲线(1)至多有2个正整数点。

情形Ⅳ将(1)式代入(2)式得

2a4=1+nb2

(7)

即

2a4=1+nb2

(8)

对(7)式两边同时取模n，得

2a4≡1(modn)

(8)

综上所述，定理成立。

参考文献：

[1]ZagierD.Lagerintegralpointonellipticcurves[J].MathComp,1987,48：425-436.

[2]Zhu H L,Chen J H.Integral point ony2=x3+27x-62[J].J Math Study,2009,42(02)：117-125.

[3]吴华明．椭圆曲线y2=x3+27x-62的整数点[J].数学学报:中文版，2010,53(01)：205-208.

[4]管训贵．椭圆曲线y2=x3+(p-4)x-2p的整数点[J].数学进展，2014,43(04)：521-526.

[5]祝辉林，陈建华．两个丢番图方程y2=nx(x2±1)[J].数学学报，2007,50(05)：1071-1074.

[6]乐茂华．椭圆曲线y2=px(x2±1)的正整数点[J].湛江师范学院学报，2008,29(03)：1-2.

[7]管训贵．关于椭圆曲线y2=px(x2+1)的一个注记[J].四川理工学院学报:自然科学版，2010,23(04)：384+393.

[8]杨海，付瑞琴．一类椭圆曲线有正整数点的判别条件[J].纯粹数学与应用数学，2013,29(04)：338-341.

[9]窦志红．椭圆曲线y2=2px(x2+1)上正整数点的个数[J].纯粹数学与应用数学，2011,27(02)：210-212+235.

[10]赵院娥．椭圆曲线y2=2px(x2-1)的正整数点的个数[J].西安石油大学学报，2012,27(02)：106-107+110.

[11]陈历敏．Diophantine方程y2=px(x2+2)[J].数学学报，2010,53(01)：83-86.

[12]廖思泉，乐茂华.椭圆曲线y2=px(x2+2)的正整数点[J].数学杂志，2009,29(03)：387-390.

[13]李玲，张绪绪．椭圆曲线y2=nx(x2+2)的整数点[J].西安工程大学学报，2011,25(03)：407-409.

[14]袁平之，张中锋.丢番图方程ax4-by2=1[J].数学学报，2010,53(03)：443-454.

[责任编辑：郑秀亮英文编辑：刘彦哲]

Integral Points on Elliptic Curvey2=nx(x2-2)

LI Run-qi,LIU Xiao

(1.College of Mathematics,Dehong Normal College,Mangshi,Yunnan 678400,China;2.No.7 Middle School of Zhangjiakou,Hebei 075000,China)

Abstract:ObjectiveThe integral points on elliptic curve is a very important problem of Number Theory.The integral points on elliptic curve y2=nx(x2-2) still remain unresolved.MethodsProperties of the solutions to congruence and Legendre symbol.ResultsIt is proved that if n is an odd prime and n≡3(mod8),then the elliptic curve in title has no positive integeral points;if is an odd prime and n≡5(mod8),then the elliptic curve in title has at most two positive integeral points.ConclusionThese results promote the study on the kind of elliptic curve.

Key words:elliptic curve;integeral point;odd prime

基金项目：云南省教育厅科学研究项目(2014Y462)

作者简介：李润琪(1965-)，男，云南腾冲人，德宏师范高等专科学校数学系讲师，研究方向为初等数论及数学教育。

中图分类号：O 156.1

文献标识码：A

DOI：10.3969/j.issn.1673-1492.2016.03.003

来稿日期：2015-09-01