核动力设备无信息先验研究

郭海宽，赵新文，蔡　琦，张永发，黄丽琴，邢　晋

(1.海军工程大学 核能科学与工程系,武汉　430033;2.南昌航空大学 材料科学与工程学院，南昌　330063;3.海军装备部驻重庆地区军事代表局，重庆　400000)



核动力设备无信息先验研究

郭海宽1，赵新文1，蔡琦1，张永发1，黄丽琴2，邢晋3

(1.海军工程大学 核能科学与工程系,武汉430033;2.南昌航空大学 材料科学与工程学院，南昌330063;3.海军装备部驻重庆地区军事代表局，重庆400000)

摘要：故障时间数据服从单参数情形下使用Jeffreys先验可以得到很好的推断结果，但对于服从双参数的情形，并且参数之间具有相关性时，需要对Jeffreys先验作特定的修改才能使用；推导出服从正态分布的核动力设备故障时间的Jeffreys先验和Reference先验，通过分析它们的后验频率性质得到：Reference先验πr(μ,σ2)∞1/σ2是σ2的精确概率匹配先验、μ的二阶概率匹配先验；在Jeffreys先验下，σ2水平为α的可信上限的频率覆盖概率低于事先给定的可信水平α，其差异会随着样本容量的增大而逐渐缩小；对实例进行分析，首先推导出核动力设备泵的正态分布故障时间数据的Reference无信息先验，应用此先验对故障时间数据进行分析，然后通过Bayesian χ2拟合优度对所建立的无信息先验模型进行检验，发现仅有15.5%的rB超过0.95分位数，表明所建立的正态分布Reference无信息先验模型可以很好的描述本实例中核动力设备泵的故障时间数据。

关键词：核动力设备；Reference先验；Jeffreys先验；概率安全评价

可靠性数据是核电站概率安全评价(PSA)的基础，目前，核电站的PSA研究广泛利用Bayes方法将特定数据作为“新证据”来修正或更新通用数据，从而得到适用于本电站PSA的可靠性参数[1]。这种方法既能弥补通用数据不能代表本电厂特征的弊端，又能弥补特定数据量少、不确定性大的缺陷，因此被认为是目前最有效的数据处理方法。在核电站PSA分析中，有些始发事件的频率或设备失效的记录属于首次出现，没有历史数据依托，在PSA分析中，此种情况称为无先验信息。为了计算无先验信息的可靠性参数或始发事件频率，将无先验信息的设备可靠性参数或始发事件频率简单地设为0是不合适的。何劼采用Bayes统计学中的Jeffreys方法[2]，分别导出了Gamma-Poisson模型和Beta-Binomial模型的Jeffreys无信息先验公式和不确定性区间，并结合反应堆冷却剂小破口失水事故(SLOCA)实例介绍了如何应用Jeffreys先验计算始发事件频率；沈志远在Gamma-Poisson模型和Beta-Binomial模型的Jeffreys无信息先验公式基础上，通过Bayes方法得到通用数据分布超参数计算表达式[3]。上述两篇文章处理的可靠性数据是离散的，而最常见的可靠性数据是故障时间数据，具有连续性，其记录了核动力零部件故障前的持续工作时间[4]。故障时间数据既有符合单参数分布(如指数分布)的，也有符合双参数分布(如正态分布)的。故障时间数据服从单参数情形下使用Jeffreys先验可以得到很好的推断结果，但对于服从双参数的情形，并且参数之间具有相关性时需要对Jeffreys先验作特定的修改才能使用[5]。Bernardo通过Reference方法成功地改进了多参数模型中Jeffreys先验[6]。对于核动力设备正态分布的故障时间数据，W.Nelson指出，当μ(正态分布的均值)相对于σ(正态分布的标准差)很大时，正态分布小于0的概率是可以忽略的，此时，正态分布可以近似地用于处理故障时间数据[7]。本文分别推导出设备可靠性数据的Jeffreys先验和Reference先验且分析了它们的后验频率性质，通过核动力设备泵的实例分析，对所建立的正态分布故障时间数据的Reference无信息先验模型进行Bayesian χ2拟合优度检验。

1核动力设备无信息先验

假设核动力设备故障时间满足正态分布规律，设T=(T1,…,TN)是设备故障时间数据，其中Ti是第i个部件的故障时间，则正态故障时间Ti的概率密度函数为

1.1核动力设备的Jeffreys先验

通过Jeffreys先验理论[5]可得(μ,σ2)的Fisher信息阵为

则正态分布的核动力设备故障时间数据的Jeffreys先验为：

1.2核动力设备的Reference先验

设π=(μ，σ2)，其中μ为感兴趣参数，σ2为讨厌参数，又设

为(μ，σ2)的Fisher信息阵。(μ，σ2)的Reference先验可由以下四步计算得到[8]：

1)求μ给定时σ2的Reference先验π=(μ，σ2)。由于一维场合Reference先验与Jeffreys先验的一致性，所以

上是有限的。由此对π(σ2|μ)在ωi,μ上正则化得到

其中iA(x)表示集合A上的示性函数，而

3)求参数μ关于π(σ2|μ)的边际Reference先验πi(μ)。

4)求极限(假定存在)得到(μ，σ2)的Reference先验

其中μ10为任一固定点。

2核动力设备无信息先验的后验频率性质

2.1后验频率性质

考虑核动力设备Reference先验的后验频率性质，πr(μ,σ2)的后验分布为

(1)

根据伽玛分布、倒伽玛分布和χ2分布的关系[9]，得倒伽玛分布的α分位数可用χ2分布的α分位数表示，即

有

(2)

式(2)表明Reference先验πr(μ,σ2)∞1/σ2是σ2的精确概率匹配先验。

为了得到参数μ的边沿后验分布，需要对σ2进行积分计算

(3)

(4)

计算Jeffreys先验关于σ2的边沿后验分布，式(6)是倒伽玛分布IG(N/2,(N-1)σ2/2)，其α分位数IGα(N/2,(N-1)σ2/2)就是σ2的水平α的可信上限。

(5)

式(5)表明：在Jeffreys先验下，σ2的水平为α的可信上限的频率覆盖概率低于事先给定的可信水平，其差异会随着样本容量的增大而逐渐缩小。利用Matlab分析核动力设备无信息先验的后验频率性质，如图1所示。

图1　置信水平α=0.05与α=0.95的覆盖率比较

图1左右两图中圈点为在Reference先验下模拟得到的可信度分别为α=0.05和α=0.95的可信上限的频率覆盖概率；而图中的星点为在Jeffreys先验下模拟得到的可信度分别为α=0.05和α=0.95的可信上限的频率覆盖概率。可以看出Jeffreys先验的确不具有良好的频率性质，特别是在小样本场合。图1上的水平线与曲线分别表示α=0.05与α=0.95时与Reference先验与Jeffreys先验对应的可信上限的理论结果。图1上的结果是显示模拟结果与理论结果相当吻合，还表现出Reference先验与Jeffreys先验下可信上限的频率覆盖概率的差异。当N较小时这个差异是很显著的，而当n增大时这种差异逐渐缩小。

2.2Bayesian χ2拟合优度检验

建立核动力设备的无信息先验模型之后，需要对模型进行拟合优度检验以评价由此模型得到的Bayes推断值是否合适。基于Bayes理论的Pearson拟合优度检验统计量可以定义为

(6)

通常，k的取值满足k≈N0.4，N是样本量。此统计量的一个重要性质是：对于很大的N，rB服从自由度为k-1的χ2分布，而与(μ,σ2)的维度无关[12]。如果后验分布生成的样本导致50%的rB超过参考分布的0.95分位数，则建立的模型存在问题[13]。

3实例分析

泵是核电站的重要设备，表1列出核电站泵的部分故障时间[14]。

本文利用正态分布进行故障时间数据建模，表1给出的泵的故障时间T1,T2,…,T12模型为

根据式(1)可以得到σ2的边沿后验分布为倒伽玛分布σ2∈IG(5.5,754 286 093 679 091)。再根据式(3)得到μ的边沿后验分布为T分布，其自由度为11，均值为14 873 072，尺度参数为114 285 771 769 559。图2显示了μ和σ2的边沿后验分布。

表1　核电站泵的故障时间数据

图2　泵正态分布故障时间均值μ和方差σ2的后验分布

4结论

本文推导出核动力设备正态分布故障时间的Jeffreys先验和Reference先验，发现Reference先验πr(μ,σ2)∞1/σ2是σ2的精确概率匹配先验，是μ的二阶概率匹配先验。分析两个先验的后验频率性质得出，在Jeffreys先验下，σ2水平为α的可信上限的频率覆盖概率低于事先给定的可信水平α，说明Jeffreys先验的确不具有良好的频率性质，特别是在小样本场合下。应用Reference无信息先验分析核动力设备泵正态分布的故障时间，通过Bayesian χ2拟合优度检验发现仅有15.5%的rB超过0.95分位点，表明可以很好的描述核电站泵的故障时间。

参考文献：

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[2]何劼,张彬彬.应用Jeffreys方法计算可靠性参数和始发事件频率的无信息先验[J].原子能科学技术,2013,47(11):2059-2062.

[3]沈志远,陈伟等.基于Jeffreys先验的PSA通用数据Bayesian处理方法[J].核动力工程,2014,35(6):84-87.

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[5]JEFFREYS H.Theory of Probability[M].3th ed.London:Oxford University Press,1961.

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[13]JOHNSON V E.Bayesian model assessment using pivotal quantities[J].Bayesian Analysis,2007(2):719-734.

(责任编辑唐定国)

本文引用格式：郭海宽，赵新文，蔡琦，等.核动力设备无信息先验研究[J].兵器装备工程学报，2016(5):139-143.

Citation format:GUO Hai-kuan,ZHAO Xin-wen,CAI Qi,et al.Research on Nuclear Power Plants Based on Non-Informative Priors[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(5):139-143.

Research on Nuclear Power Plants Based on Non-Informative Priors

GUO Hai-kuan1,ZHAO Xin-wen1,CAI Qi1, ZHANG Yong-fa1,HUANG Li-qin2,XING Jin3

(1.Department of Nuclear Energy Science and Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China;2.Material Science and Engineering Academy,Nanchang Hangkong University,Nanchang 330063,China;3.Naval Equipment Division Representative Office in Chongqing,Chongqing 400000,China)

Abstract:We could receive very good result based on Jeffreys priors when the failure time data has one-parameter distribution,but we need to revise the Jeffreys priors when the failure time data have two-parameter distribution and there is correlation between parameters.Jeferrys priors and Reference priors for NPPs normal failure times were introduced and their posterior frequency qualities were assessed,we know that the Reference prior is exact probability matching prior for σ2and the 2th order asymptotic probability matching prior forμ; the confidence upper limit coverage of confidence level α on σ2is below the confidence level α for Jefferys priors and the otherness will decrease with the increase of sample.This paper carried on the instance analysis to introduce Reference priors for normal failure time data of NPPs pump,and analyzed the failure time data through Reference priors; we found only 15.5%of theRBvalues exceed this 0.95 quantile through applying a Bayesianχ2goodness-of-fit to test the non-informative priors model,which suggests that the normal Reference priors model could describe the failure time data of NPPs pump very well.

Key words:nuclear power plant; Reference prior; Jeffreys prior; probabilistic safety assessment

doi:【基础理论与应用研究】10.11809/scbgxb2016.05.033

收稿日期：2015-10-31；修回日期：2015-12-01

基金项目：核反应堆系统设计技术国家重点实验室基金资助项目(HT-JXYY-02-2014002)

作者简介：郭海宽(1988—)，男，博士研究生，主要从事核科学与技术研究。

中图分类号：TL364

文献标识码：A

文章编号：2096-2304(2016)05-0139-05