浅谈“问题式探究”教学

贺家军+++李勇

【分类号】G633.3

“问题式探究”频繁出现在高中数学教材中，几乎每一册书都有，每一章都有，这足以说明“问题式探究”中教材中地位，同时也说明了“问题式探究”教学的重要性和必要性。

一、“问题式探究”教学主要探究什么.

1.1探究条件.

数学中的问题一般是由条件和结论组成。因此探究问题的条件是“问题式探究”教学的一个主要的探究对象。探究条件主要是针对一个结论，条件未知需探究，或条件增减需确定，或条件正误需判断。

如（必修5，P45）一般地，如果一个数列 的前 项和为 ，其中 ， ， 为常数，且 ，那么这个数列一定是等差数列吗？

不难发现：当 时，这个数列一定是等差数列；当 时，这个数列不是等差数列。

此类问题的难点是如何应用“执果索因”.在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充要条件，应引起注意.

1.2探究结论.

既然数学中的问题一般是由条件和结论组成，因此探究问题的结论是“问题式探究”教学的另一个主要的探究对象。探索结论是：根据给出的条件或设计方案，判断设计的方案是否符合条件要求.此类问题的难点是“阅读理解”这一环节，因此应做到审得仔细、找得有法，推得有理、证得有力.

例（必修4，P138.B组第3题）观察以下等式：

分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.

不难发现：上述等式反映的一般规律为： （其中 ），证明略.

例（必修5，P48.B组第4题）数列 的前 项和

，

探究一下，能否找到求 的一个公式，你能对这个问题作一些推广吗？

不难发现： .

推广：已知数列 为等差数列， 为数列 前 项和，则 .

1.3探究解法

数学中的问题一般是由条件和结论组成，因此探究由问题的条件推导问题的结论，即探究解法也是“问题式探究”教学的一个主要的探究对象.

例（选修2-1，P40.）例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是 ，并且经过点 ，求它的标准方程.

解：因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的方程为 .

由椭圆的定义知 .

所以 .又因为 ，所以 .因此，所求椭圆的标准方程为 .

探究：你还能用其他方法求它的方程吗？哪种方法简单？你有什么体会？

通过探究解法，有利于培养学生的解题思维，提高学生的分析问题和解决问题的能力.

二、“问题式探究”教学主要的探究方法.

2.1归纳探究

归纳探究是由部分到整体、由个别到一般的探究；归纳探究的前提是部分的、个别的事实，因此归纳探究的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的（如教科书中所述的“费马猜想”）.如（选修2-2，P71.例1）已知数列 的第1项 ，且 ，试归纳出这个数列的通项公式.

解：当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， .观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数.由此猜想，这个数列的通项公式为 .

在进行归纳探究的时候，总是先为搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳探究，因此归纳探究要在观察和实验的基础上进行。

归纳探究能发现新事实、获得新结论，是作科学发现的重要手段。

2.2类比探究

在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比探究而提出新问题和作出新发现。例如数学家波利亚（Polya，1887—1985）曾指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”其实数学中还有很多的问题，如向量与数的类比，有限与无限的类比，不等与相等的类比，如（选修2-1，P41.例3）设点 的坐标分别是 .直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程，与（选修2-1，P55.探究）设点 的坐标分别是 .直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程.并由点 的轨迹方程判断轨迹的形状与（选修2-1，P80.第10题）已知 的两个顶点 的坐标分别是 ，且 所在直线的斜率之积是 ，试求顶点 的轨迹与（选修2-1，P81.第5题）已知点 的坐标分别是 .直线 相交于点 ，且它们的斜率之和是 ，求点 的轨迹方程.

通过类比探究也能发现新事实、获得新结论.类比探究是作出科学发现的重要手段.

三、“问题式探究”教学的意义

首先、学生地位改变了.“问题式探究”教学以学生为主体，不仅重视对学生知识的传授，而且注重学生的全面发展。在教学过程中不紧尊重学生的思想感情，还看到了学生的能动性和创造性.

其次、“问题式探究”教学既重视过程又重视结果.“问题式探究”教学既重视学生掌握知识本身，还重视学生掌握获取知识的方法，并且在操作中超越教材，发展学生的思维和创新能力.改变了传统教学中只重视结果而不重视过程，排斥学生式的思考和个性，促进了教学变革.

再次、“问题式探究”教学重视科学素养的培养.情感发展不仅是教学的重要手段和提高学生认知水平的有效途径，也是学生综合素质的有机组成部分.“问题式探究”教学重视学生科学精神的培养，重视学生作为主体最重要的感受、情感、价值和潜能.将“问题式探究”教学引入课堂，有利于改变传统教学方式中只重视学生认知不重情感，将学生视为认知工具的局面，促进教学方式的变革.