分类讨论思想在中学数学解题中的应用

杨晓苇 柏春松

摘要：在中学数学解题时，要经常运用分类讨论思想。分类讨论思想体现是由整体到个体，一般到特殊的思想，它展示了问题的内在联系，对人的思维发展起着重要的作用。

关键词：中学数学；分类讨论；解题

【分类号】G633.6

一 引言

在中学数学中，应用分类讨论思，可以培养学生全面解决问题的能力。本文研究了分类讨论思想在中学数学解题中的应用，阐述了它的含义，并叙述了它的原则和意义。

二 正文

1概念

张学晖在《分类讨论思想与数学解题》中提到：“分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论思想”[1] 。

分类讨论思想是一种教学策略，它将所研究的对象由大化小、由整体化为部分、由一般化为特殊。在数学教学过程中，经常会碰到这样一些情况，当解答问题到了某一步骤后，就无法再沿用单一的式子和方法继续解答，原因在于此时所研究的问题包括了多种情况。我们就把这个问题分为几个有限的小问题，再把每一个小问题分别解答出来，那么这种解决问题的方法叫做分类讨论的思想方法。

要想完整地解决问题，就必须准确地应用分类讨论思想。，而且在此基础上，要使得分类保持在同一标准。分类讨论思想方法就是对问题进行分类和整合，确定分类的标准后，相当于增加了一个已知条件，将大问题化为小问题，从而降低将问题的求解难度。一般来说，运用分类讨论思想，首先需要明确讨论的对象和讨论的范围，确定统一的分类标准，然后，逐步讨论，最后，总结概括，得出结论。

由于分类讨论一般过程冗长，叙述烦琐，且极易造成失误。因此，摆脱思维定势，将问题中的潜在条件挖掘出来是掌握透彻分类讨论思想的要点。我们要尽可能地简化分类讨论的步骤，使解题思路得到进一步升华，使解题的途径更加合理简捷。

2 原则

研究和解决数学问题最常用的思想就是分类讨论思想，分类讨论思想的核心是对问题进行合理分类。在中学数学中，分类讨论思想的应用是十分广泛地。了解学生是否将数学知识掌握透彻，有一个重要标准，那就是能否正确地运用分类讨论法去解决问题。那如何进行分类讨论呢？为了合理准确地解题，分类必须要科学谨慎。在中学阶段，分类讨论思想的基本原则有同一性原则、互斥性原则、相称性原则和层次性原则。

2.1 同一性原则

分类必须遵循某一特定的分类标准，也就是说每次分类时，不能将多个不同的分类标准同时使用，否则会导致分类的混乱。例如，把三角形分为锐角三角形、等腰直角三角形、等边三角形、钝角三角形，很明显，以上对三角形的分类是不正确的，因为它既按边又按角，同时使用了两个标准进行分类，造成分类的混乱。正确的分类是把三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

2.2 互斥性原则

分类后的每个子项都应当互不相容，即每个子项要相互排斥。也就是说分类后不能有一些事物既包含于这个子项，又包含于另一个子项，造成子项外延的重叠。例如，某班有9位女生参加书法和绘画两项比赛，其中6人参加书法比赛，5人参加绘画比赛，若把女生分成书法和绘画两类，这就犯了子项相容的逻辑错误。

2.3 相称性原则

分类应当相称，即分类后子项的外延之和应该等于母项的外延，而不能出现分类后子项外延的遗漏。例如，某人把整数分为正整数和负整数两类。这个分类不符合相称性原则，因为母项的外延的大于子项外延的总和，事实上整数中还包括零。

2.4 层次性原则

有些数学问题只需一次性分类，有些数学问题则需多次分类。当被讨论的对象只需分类一次时，我们称之为一次分类；而多次分类则是由于被讨论对象比较复杂，需要把首次分类后的子项作为新的母项，再次进行分类，一直到满足需要为止，从而解决整个问题。例如，实数可以分为有理数和无理数，有理数又可以分为整数和分数，整数则可以分为正整数、负整数和零等等。

值得一提的有很多可以用分类讨论思想去解答的题目，它并不是孤立的。有时可以用这种分类标准，也可以用其他的分类标准，所以在应用分类讨论思想来解答题目时必须要按照相同的标准来进行，做到不重复不遗漏。

3 应用

在解决有关三角形问题时，常常运用分类讨论思想。例如，已知两边的长度，且图形为等腰三角形，求该三角形的面积和周长。在这个问题中，并不明确哪条边是底边，哪条边是腰，所以需要进行分类讨论。设其中一条边是底边，另一条是腰，然后求解。

在解决有关于集合问题时，常常需要结合元素与集合、集合与集合之间的关系进行分类讨论。例如，对于空集的特殊性，在解题时，若未指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，进行分类讨论。

在解决有关函数问题时，常常需要根据函数的单调性进行分类讨论。例如，二次函数在闭区间上的最值问题，需要根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论。在解决不等式相关问题时，常常需要绝对值进行分类讨论。

在解决有关圆问题时，包括 、 、以及 之间的关系，特别是圆与圆之间的位置关系，常常需要运用分类思想。

三 小结

通过本文的论述，我们了解了分类讨论思想，很显然，分类讨论的思想方法可以帮助学生高效的解决问题。在课堂讨论中，可以提高学生的学习兴趣，让学生主动地使用分类讨论法去解决问题。值得注意的是，不能盲目地运用分类讨论思想，不能急于运用。在运用之前，需要深入分析题目，充分领会其中的含义，再合理运用分类思想，确定正确的解题方法，避免出错或不必要的分类讨论。

参考文献

[1] 张学晖，分类讨论思想与数学解题[J]，新疆石油教育学院学报，1999，4.

[2] 罗树全，对数学新课程中分类讨论思想的再认识[J]，教育实践与研究，2012，4.

[3] 杨藏军，用分类讨论思想解决数学问题[J]，教育实践与研究，2007，11.

[4] 丁启富，注重函数教学，紧抓初中数学教学重点[J]，考试周刊，2013，7.

[5] 海防，浅谈分类讨论思想在中学数学中的应用[J]，数学学习与研究，2009.6.

[6] 张国凤，分类讨论思想在函数教学中的渗透[J]，学园，2014，2.