寻找填空压轴题的命制本源

孟凡敏

填空题是数学考试的基本题型之一，其特点是短小精干，且不需要过程. 近年来，命题者相继推出一些题意新颖，构思精巧，具有相当深度和明确导向的创新题型. 对这些题目进行深度挖掘，将有助于我们总结这一类题的解题经验，揭示数学知识间的内在联系，提高分析问题和解决问题的能力.

一、 利用特殊定义，考查知识整合

此类试题主要考查阅读理解能力，试题往往涉及一些容易混淆的概念和性质，要求我们搞清定义的本质，用类比的方法将新知识迁移，进而转化为熟悉的问题来解决.

例1 （2015·崇左）4个数a，b，c，d排列成a bc d，我们称之为二阶行列式. 规定它的运算法则为：a bc d=ad-bc. 若x+3 x-3x-3 x+3=12，则x=______.

【命制本源】本题创设了一个全新的问题情境，约定一种新概念二阶行列式，实质是将四个整式交叉相乘再求差，转化为解方程的问题. 解决问题的关键是要善于挖掘其内涵和本质，真正理解概念.

解：（x+3）2-（x-3）2=12，解得，x=1.

二、 开放条件结论，考查探索创新

该类试题是相对于给出明确条件或结论的封闭性问题而言，其特点是条件或结论不明确，有待于进一步探索，进而成为开放性问题. 这类问题设计新颖，解答时需要综合运用基础知识、基本技能和基本的数学思想方法.

例2 （2015·威海）如图1，①②③用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”，我们称之为环形密铺，而④⑤不是我们所说的环形密铺. 请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形：______.

【命制本源】本题考查平面镶嵌的有关知识，判断中间空白正多边形的内角是所用正多边形的外角的2倍是解题的关键. 题目新颖之处不在于所涉及的知识本身，而是抓住问题的本质，即图形镶嵌的条件.

解：正十二边形的外角是360°÷12=30°，

∵30°×2=60°是正三角形一个内角的度数，

∴正十二边形可以进行环形密铺.

三、 源于社会生活，反映时代主题

低碳排放、保护环境、优惠政策是当今社会的主旋律，也是考试的热点.

例3 （2015·无锡）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠. 促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款______元.

【命制本源】本题以优惠购物这一生活问题为背景，主要考查分类讨论思想，不仅考查分析和解决问题的能力，而且能促进同学们关注国家、人类和社会生活息息相关的民生问题.

解：∵480<500<520<800×0.8，

∴母亲买的商品一定打折，小红买的商品可能打折也可能没打折.

①小红买的商品打折：（480+520）÷0.8=1 250，

800×0.8+（1 250-800）×0.6=910（元）；

②小红买的商品不打折：480+520÷0.8=1 130，

800×0.8+（1 130-800）×0.6=838（元）.

四、 探究数学规律，考查数学建模

当一个问题涉及相当多的情形时，可以从问题所给条件中的特殊情况出发，挖掘隐含的一般规律，从而找到解决问题的关键. 它要求同学们具有较强的观察能力、归纳探究能力，体现从特殊到一般再到特殊的辩证思维能力.

例4 （2015·贵港）如图2，已知点A1，A2，…，An均在直线y=x-1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y=-上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）. 若a1=-1，则a2015=______.

【命制本源】根据点在反比例函数、一次函数图像上，求出点的坐标，找出其坐标规律特征.

解：由a1=-1，可得，a2=2，a3=，a4=-1，…，三个一循环，

∴a2015=2.

五、 提供新颖信息，考查阅读迁移

这类题型的特点是设计一个陌生的数学情境，这些情境可能是同学们未曾见过的，也可能是已学过的某个知识点的延伸或拓宽. 它要求同学们在理解材料的基础上，运用所学的知识和方法进行知识的迁移.

例5 （2015·株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在格点上的多边形面积的公式，公式表达式为S=a+-1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上（含顶点）的格点个数，另一个表示多边形内部的格点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的格点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图3（1））进行验证，得到公式中表示多边形内部的格点个数的字母是______，并运用这个公式求得图3（2）中多边形的面积是______.

【命制本源】本题考查了图形的变化，读懂题目提供的信息，找到图形内和图形上格点的数目是解题的关键. 该类试题要求真正读懂题目提供的信息，会灵活应用提供的信息解决问题.

解：公式中表示多边形内部的格点个数的字母是a，图3（2）中多边形的面积是S=15+×7-1=17.5.

六、 设计多重选择，考查综合素质

该类试题给出多个命题，要求答题者从题设条件出发，运用定理、性质、公式等进行推理论证，对每个备选命题逐个判断其真伪，填写全部满足要求的命题序号，属于选择题中的多选题. 由于排除了“唯一性” 中的“猜”的成分，所以该类试题对运算、推理、应用提出了更高的要求.

例6 （2015·乌鲁木齐）如图4，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1，且过点，0，有下列结论：①abc>0；②a-2b+4c=0；③25a-10b+4c=0；④3b+2c>0；⑤a-b≥m（am-b）.其中所有正确的结论是______.

【命制本源】本题主要考查二次函数图像与系数的关系等知识. 熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键，同时要注意数形结合思想与转化思想的灵活应用. 这类试题考查容量大，综合性强，而且要求判断准确，所以做题必须谨慎应对.

解：①③⑤.

七、 加强操作探究，引导方法创新

动手操作往往与面积、对称性质联系在一起，常涉及画图、测量、猜想证明、归纳等问题. 这类试题通过动手操作、图形的旋转、翻折等运动，不仅注重数学实践应用、动手探究的培养，还关注学习过程和思想方法的渗透，让同学们在经历知识的发生、发展过程中领悟探究方法.

例7 （2015·黄石）现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图5（1）所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于P，Q，易得BP∶PQ∶QR=3∶1∶2.

（1） 若取四个直角三角形拼成如图5（2）所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC，CD，DE于P，Q，R，则BP∶PQ∶QR∶RS=________.

（2） 若取五个直角三角形拼成如图5（3）所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，则BP∶PQ∶QR∶RS∶ST=________.

【命制本源】本题以图形剪拼为背景，主要考查了相似三角形的判定和性质等有关知识. 解决问题的关键是找出图中的相似三角形，求得相应线段之间的比例关系.

解：（1） 4∶1∶3∶2；（2） 5∶1∶4∶2∶3.

总之，中考填空压轴题无论从呈现形式，还是从提出问题的角度都有所创新. 在平时的学习中，同学们要认真钻研教材，精心解读教材，利用数学思想方法进行整合、概括，充分发挥教材应有的功能，挖掘其具有的典型特征，对每种题型都要广开思路，不要因为是“小题”而不够重视，要真正做到“小题大做”，发现问题真正的本源.