① 形如2rp1p2…pk(k≥2)的孤立数

温建中

(阿坝师范学院数学与财经系，四川汶川623000)



①形如2rp1p2…pk(k≥2)的孤立数

温建中

(阿坝师范学院数学与财经系，四川汶川623000)

摘要：对于正整数n,设δ(n)是n的不同约数之和.对于给定的正整数a,如果不存在正整数b满足δ(a)=δ(b)=a+b,则称a是孤立数.由于相亲数和孤立数与完全数等著名数学难题有着直接的联系,所以它们一直是数论中引人关注的研究课题.利用素数个数的估计的相关结论证明了对于任意给定正整数r或者k,均存在无穷多个形如的孤立数,其中p1,p2,…,pk为相异的素数.

关键词：相亲数; 孤立数; 存在性.

0引言

对于正整数n,设δ(n)和π(n)是n的不同约数之和以及不超过n的素数的个数.如果正整数a和b满足

δ(a)=δ(b)=a+b

(1)

则称(a,b)是一对相亲数(amicable pair).相反,对于给定的a如果不存在适合(1)的正整数b,则称a是孤立数(anti-sociable number).近年来,人们对与各类孤立数的形式和存在性进行了大量的研究，[1-10]并得到了许多深刻的结果.在文献[11]中,作者提出了是否存在无穷多个相异素因数大于3的无平方因子的孤立数,对此文献[12]作者证明了存在无穷多个相异素因数等于任意给定正整数k的无平方因子的孤立数.

本文在文献[11-12]的基础上讨论了一类形如2rp1p2…pk(k≥2)的更广类型的孤立数.利用素数个数的估计的相关结论,我们证明了以下结论.

定理对于任意给定正整数r或者k均存在无穷多个形如2rp1p2…pk(k≥2)的孤立数,其中pi(i=1,2…k)为相异的素数.

1一些引理

(2)

证参见文献[13]的定理1.9.1.

引理2当素数p>24k,k≥2时,有

π(2p)-π(p)>k-1.

证由文献[15]可知：

所以当p>59时,

由此本引理得证.

引理3当n≥1015时,有δ(n)/n<2loglogn.

证根据文献[14]可知,当n≥3时

(3)

由于当n≥1015时,有2.6/loglogn<0.74<0.218loglogn,由(3)式即得本引理.

引理4当x≥2时,则必有2x-1>logx2.

证设h(x)=2x-1-logx2.则x≥2,h'(x)=(x-1)xx-2-2/x>0.所以当x≥2时,h(x)是增函数.故h(x)>h(2)=2-2log2=0.61>0.由此得本引理.

引理5当正整数k>2,r≥0时,如果实数x适合x>24k+r,则必有

x>22k+1loglog(22k+r·xk-1)

证设f(x)=x-22k+1loglog(22k+r·xk-1).因为

(4)

所以从(4)式可知：当x>24k+r>22k+1(k-1)时,有f'(x)>0,f(x)是增函数.由此可得f(x)>f(24k+r)=22k+1[22k+r-1-loglog2k(4k+r-2)]>22k+1[22k+r-1-logk(4k+r)]>22k+1[22k+r-1-logk(4k+r)]>22k+1[22k+r-1-log(2k+r)2].令(2k+r)为x,则由引理4即可得f(x)>f(24k+r)>22k+1[22k+r-1-log(2k+r)2]>0.本引理得证.

2定理的证明

定理的证明设k≥2,pi(i=1,2…k)是k个适合

max(1015,24k+r)

(5)

的素数,又设

a=2rp1p2…pk.

(6)

根据δ(n)的定义由(2),(6)式可得

δ(a)=(2r+1-1)(p1+1)(p2+1)…(pk+1).

(7)

另外,由引理2可知当p1>24k+r>24k，(r≥0)时有

p1

(8)

故从(6)和(8)式可得

(9)

假设a不是孤立数,则必有正整数b适合(1)式.又因为k≥2,所以由(5),(6),(7),(8)和(9)式可知

(10)

于是,由(1),(9)和(10)式可得

(11)

另一方面,由(10)式可知b>1015,所以由引理3可知

(12)

结合(11)和(12)式可得

p1<22k+1loglog(22k+r·p1k-1).

(13)

由引理5可知(13)式矛盾，则a必为孤立数.又根据素数p1的无限性可知：满足条件的正整数a有无穷多个，所以对于任意给定正整数r均存在无穷多个形如2rp1p2…pk(k≥2)的孤立数,其中pi(i=1,2…k)为相异的素数.证毕.

参考文献:

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[责任编辑范藻]

Anti-sociable Number With the Form 2rp1p2…pk(k≥2)

WEN Jianzhong

(Mathematics and Finance Department of Aba Teachers College,Wenchuan Sichuan 623000,China)

Abstract:For any positive integer n,let δ(n)to be the sum of all the different divisors of n.Suppose that a is a positive integer,then a is called an Anti-sociable number if only there is not the positive integer b:δ(a)=δ(B)=a+B.Because Amicable pair and Anti-sociable number with the Perfect number of famous mathematical problems has a direct connection,so they have been interesting research topic in number theory.Based on the estimate of prime number of related conclusions,we prove that for any positive integer r or k,there are infinity many anti-sociable number with the from 2rp1p2…pk(k≥2),wherepi(i=1,2…k)is the distinct primes.

Key words:amicable pair; anti-sociable number; existence.

收稿日期：①2015-11-10

基金项目：四川省应用基础研究项目(2013JYZ003)；阿坝师专重点科研课题项目(ASA14-09)

作者简介：温建中(1991—),男,四川仪陇人.助教,主要从事代数与数论研究.

中图分类号：O156.1

文献标志码：A

文章编号：1674-5248(2016)02-0012-03