趣说数学说理与数学证明

张强胜

初一开始就已经有对几何图形的简单说理，虽然教材要求降低，但学生也往往在这一块知识上摔跟头. 教学过程中发现学生有以下几点常见错误.

1. 不会说理 不知从哪里开始进行逻辑推理，在求线段长、求角度中最是常见.学生往往是从一个等号开始，直到结论出现，中间不说一点理由，让他解释也解释不清.

2. 胡乱说理 进行几何论证时，天马行空，想到哪里就说到哪里，往往是这个定理的条件得到另一个定理的结论，或是想当然的用假命题得到正确的结论.

3. 因果倒置 证明中将判定定理和性质定理混淆，在平行线中尤为突出.把判定定理当性质定理用，或是把性质定理当判定定理用，对定理的条件和结论不甚了解.这些都是学生在学习几何证明中比较常见的错误.

减少以至避免出现这些失误，可不是一朝一夕就能做到的，最好能在一接触几何学习时就给予重视.

下面列举一些有代表性的、常见的错例进行剖析，并指出正确的证法.

（1） 偷换概念 在命题的证明过程中，把不属于某一概念外延的事物误认为属于这一概 念，从而误认为该事物具有此概念的某些属性，得出错误的证明，这就犯了偷换概念的错误.这种错误在学生的证明中经常出现.

例如：爸爸捕了一条鱼，让儿子分成两段，每段卖2.5块，共收益5块，儿子耍小聪明，偷偷分成三段，每段卖2块，共收益6块，上交爸爸5块，后来老爸发现，让儿子退还那1块，儿子为了分得平均，每个人退两毛，自己偷拿4毛，那顾客等于每个人付了1.8块，总共花了5.4块，那儿子偷拿了0.4块，总共5.8块，那其余的两毛呢？

答案：这是一道著名的偷换命题的数学题！

他们每人最后花了2-0.2=1.8（元），也就是一共花了1.8×3=5.4（元）.

这5.4元包括了爸爸得到的5元+儿子偷拿的0.4元=5.4元.

再加上他们三人每人拿回的0.2元×3=0.6元，正好是6元.

儿子偷拿的0.4元是包含在那5.4元里的，是他们付出去的钱，而不是他们拿回去的钱！

（2） 偷换命题 偷换命题是指证明时证明者偷偷加入某些条件用特例代替一般情形来加以证明.这种错误也叫作以特殊代一般.

例如：证明“三角形内角和等于180°” 时，有的同学是这样证明的：在△ABC中，因为∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，

所以∠A+∠B+∠C=180°.

这个同学就是犯了用特殊三角形代替一般三角形的错误，把“三角形”偷换成“直角三角形”了.

（3） 循环论证 循环论证也是学生在证明过程中经常出现的错误，是指利用要证命题本身或它的等价命题作证明的根据，实质上并没有给出命题的证明.

例如：一个瘦子问胖子：“你为什么长得胖？”

胖子回答：“因为我吃得多.”

瘦子又问胖子：“你为什么吃得多？”

胖子回答：“因为我长得胖.”

胖子的回答真是令人啼笑皆非.他回答瘦子的第一个问题时，是以“吃得多”为理由的；而他回答瘦子的第二个问题时，又以“长得胖”为理由.胖子的回答能够解决瘦子的问题吗？当然不能.胖子的这种论证，就叫作“循环论证”，是说明不了任何问题的.

在教学的过程中，会常常看到同学有一些似是而非的证法，这个时候要认真分析这些错误的原因，及时给予纠正，才能在今后的学习中防止或减少这些错误的出现.

（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）