浅谈小学数学概念的抽象及其本质

徐斌

摘 要：本文首先叙述了数学概念的形成是一个抽象的过程，进而利用比的三个实例，详细说明了“概念”需揭示事物的本质特征。

关键词：数学概念；抽象；本质特征；课堂教学

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）10-387-01

数学概念是数学理论体系的基础，从20世纪40年代起，概念理解逐渐成为教育心理学的一个主要研究课题，然而因为受到“回归基础”运动的影响，在20世纪80年代中期典型的小学数学课堂里，有85%以上的时间花在练习运算程序上，只有不到15%的时间用于发展概念的理解。到了20世纪90年代后期，概念理解才又重新成为数学课堂的焦点。尽管如此，在我国当前的小学课堂教学中，重定义轻理解的现象仍然普遍存在。这也可以从教师们在教学时产生的困惑中窥见一斑，如一位教师在“比的意义”课后反思中谈到：“一节课下来，做后测时问学生，什么是比？学生也能对答如流：两个数相除又叫做两个数的比。过几天再测，学生回答起来就有些茫然，追问原因，学生的回答是没背下来，忘了。扪心自问，小学的概念教学只是让学生把概念背下来就算学会了吗？教师上课时也设计了一些贴近生活的情境，为什么经过几天的搁置，学生对概念的理解就会淡忘甚至遗忘呢？”相信这位教师的困惑也是很多一线教师的困惑，那么数学概念本身有哪些特点？学生对数学概念有着怎样的学习与认识过程？教师如何帮助学生理解与巩固数学概念？本文拟以“比的意义”一课为例，对这些问题进行一些梳理和探讨。

一、数学概念的形成是一个抽象的过程

从数学本身的发展来看，数学概念的来源一般认为有两个方面：一是直接从客观事物的数量关系和空间形式反映而得；二是在抽象的数学理论基础上经过多级抽象所获。所以说，数学概念既有它的抽象性，也有它的具体内容。例如“比的意义”这部分内容，2001年版课标下的各个版本教材尽管在处理方式上有所不同，但都是通过设计丰富的情境，如国旗的长与宽的关系、路程与时间的关系等情境，在引导学生充分感知和体会的基础上，再抽象出“两个数相除又叫做两个数的比”或“两个数的比表示两个数相除”。不管采用什么样的情境，一般来说，大陆版教材都将比的含义划分为两层：一是比例（刻画同类两个量之间的关系，如按比例分配、溶液的浓度等）；二是比率（刻画异类两个量之间的关系，如路程与时间、总价与数量之间的关系）。台湾版教材中用“对等关系”来刻画“比”，并将这种对等关系更加细致地划分为四种类型：

（1）组合：一组亲子游戏中三个小孩，需要两个大人来协助；（2）母子：一打衬衫有12件，其中4件是蓝色的；（3）交换：小华拿了135本杂志到图书馆换了9本小说；（4）密度：30立方厘米的水重30克。传统教材中的“概念” （确切地说是“定义”）多是以“黑体字”的形式呈现，凡是“黑体字”就是教师授课时要再三强调的，也是需要学生必须记住的，新课改后的教材取消了“黑体字”，而代之以多样化的情境抽象出“概念”的过程，是符合数学概念的发展顺序，更加符合儿童概念学习和理解的认知规律的。正如杜威指出的：只有当他具备了和意义有实际联系的某些情境的经验，他才能掌握这些符号的意义。如果仅以文字来推演意义，而与事物没有关联，文字就会失去可理解的含义。因此，呈现多种现实情境，对帮助学生全面而深刻地理解“比的意义”是大有裨益的，这也是不同版本教材均呈现多样化情境的目的所在。

二、“概念”需揭示事物的本质特征

对课堂上学生的表现教师深感困惑：为什么学生会对比与除法之间如此明显的关系“视而不见”？我们对前述教师课堂上学生的反应进行一个回放。

情境1：第一次试讲。教师引导学生列出几种数量关系之间的除法算式。

（1）一面长60厘米、宽40厘米的国旗，长与宽之间的关系怎么表示？长是宽的几倍：60除以40， 也可以写成60比40。（2）一列火车2小时行驶了500千米，速度是多少？500除以2，也可以写成500比2。路程除以时间=速度。（3）买4斤苹果花了20元，苹果的单价是多少？20除以4，也可以写成20比4。总价除以数量=单价。在作了这些铺垫后询问学生：“什么是比？”本以为学生会很顺利地回答出“比”的定义，却发现没有一个学生能够回答这个问题，于是教师直接给出“两个数相除又叫做两个数的比”这一定义。课后教师在反思时谈到，学生之所以回答不上来，是因为自己没有反复强调和勾连“除法”与“比”之间的关系。于是在第二次试讲时，教师将重点放在了联系二者的关系上。

那么比到底是什么？作为数学名词，目前看到的有如下三种不同的解释：（1）比是表示两个量倍数关系的记录（1999年版《辞海》）；（2）比是表示两个数相除关系的记录（大陆小学数学教材）；（3）比是表示两个量对等关系的记录（台湾小学数学教材）。王永老师指出：比源于度量，比能够解决物体不可度量的属性的可比性，这才是比的本质。

参考文献

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