双频调制的单环铒光纤激光器的混沌产生和同步

李昕芮，王子健，李增，冯玉玲

（长春理工大学　理学院，长春　130022）



双频调制的单环铒光纤激光器的混沌产生和同步

李昕芮，王子健，李增，冯玉玲

（长春理工大学理学院，长春130022）

摘要：首先通过对单环掺铒光纤激光器的损耗进行双频调制研究其混沌的产生，数值结果表明：通过适当地调节双频正弦信号的幅值和频率，该系统可以进入混沌状态，给出了进入混沌状态的途径和混沌态的参数区间。然后利用混沌信号驱动法研究了双频调制的单环铒光纤激光器的混沌同步，结果表明，无论两个双频调制的单环铒光纤激光器被驱动前处于混沌状态还是周期状态，只要在适当的驱动强度下使最大条件李指数为负，就能实现这两个单环铒光纤激光器的混沌同步。

关键词：单环铒光纤激光器；李指数；混沌产生；混沌同步

掺铒光纤激光器因其工作波长处于光纤损耗最低窗口，在光纤通信领域中得到了大量应用。在混沌保密通信中用到混沌同步的铒光纤激光器，单环掺铒光纤激光器中的混沌产生和同步成为研究热点。1998年Liguo Luo［1］等人提出了单环掺铒光纤激光器的速率方程并从理论和实验两个方面阐述了增加自由度可以使单环掺铒光纤激光器产生混沌，并提出了用混沌的单环掺铒光纤激光器实现光保密通信；［2］1998年Gregory等人［3］报道了用单环掺铒光纤激光器的混沌光实现光通信；2000年L.G.Luo等人［4，5］报道了用单环掺铒光纤激光器的混沌光实现1GHz的光通信系统，并实验研究了单环掺铒光纤激光器的混沌同步；2007年范文华等人［6，7］数值研究了附加延迟反馈回路的单环掺铒光纤激光器系统的混沌产生和混沌同步以及在混沌保密通信中的应用；同年，邵铭等人［8］数值研究了单环掺铒光纤激光器的混沌同步；2010年杨玲珍等人［9］数值研究了单环掺铒光纤激光器混沌光的带宽；2011年，蔺玉珂等人［10］利用光延迟反馈方法对单环掺铒光纤激光器的混沌控制进行数值仿真，得到了混沌现象；2012年，冯玉玲和常锋等人［11］利用电光调制器实验研究了单环掺铒光纤激光器的混沌产生；2014年冯玉玲等人［12］利用延时反馈控制法实验研究了单环铒光纤激光器的混沌产生。本文通过对损耗进行双频调制来研究单环铒光纤激光器的混沌的产生，进而用混沌信号驱动法［13］研究双频调制的单环铒光纤激光器的混沌同步。

1　单环掺铒光纤激光器的混沌产生

1.1方案与方程

根据单环掺铒光纤激光器的结构特点和工作原理，提出对单环铒光纤激光器的损耗进行双频调制（可以通过声光调制器实现），使其产生混沌，方案示意图如图1所示。

图1　被声光调制器双频调制的单环铒光纤激光器系统

如图1所示，WDM是波分复用器，EDF是掺铒光纤，ISO是光隔离器用来保证光单向传输，AOM1和AOM2是2个声光调制器，其中AOM1产生正移频，AOM2产生负移频，SG是信号发生器，通过调节它输出的双频正弦信号（S1+S2）的幅值和频率从而通过AOM1完成对损耗系数的双频调制，进而实现单环铒光纤激光器的混沌产生。所以，此时归一化后的单环掺铒光纤激光器的动力学方程如下［1］：

其中，τ为归一化后的时间，τ=γt，γ=1/τ0，τ0= 10ms是Er3+亚稳态寿命。Ip为泵浦光强，E是激光器内激光的电场强度，k和g分别是激光器的损耗系数和增益系数，D是激光器的反转粒子数，m1和m2是归一化的两个正弦信号的幅值，ω1和ω2和是归一化的两个正弦信号的频率。

1.2数值模拟和分析

这里取单环铒光纤激光器的参数［8］：k=1000， g=4700，Ip=4.0，m1=0.2，ω1=100，ω2=60，将m2作为控制参数，积分步长选取为step=10-4×10ms，初值：（2.5，3.2），用Wolf方法［14］求李指数，用四阶龙格库塔法数值求解方程，用其数值结果和Origin软件画出的分岔图和最大李指数，如图2所示，计算其他的李指数发现，它们在所选的参数范围内都为负，所以这里没给出相关曲线。

图2　随m2变化的分岔图和最大李指数图

由图2（b）所示，当m2在区间（0.052，0.345）和（0.389，0.697）内时，系统处于内部有周期窗口的混沌状态，可见处于混沌状态的m2取值区间较宽；由图2（a）可见：在m2=0.052附近随着m2的增大系统以阵发途径进入混沌状态；在m2=0.389附近随着m2的增大系统以倍周期分岔途径进入混沌状态；在m2=0.345和m2=0.697附近随着m2的减小系统也是以阵发途径进入混沌状态。

为了展示不同状态的吸引子，根据图2选取m2=0.20、0.35、0.45，对应的系统的吸引子和时间序列如图3所示。

由图3（a，b，e，f）可见：当m2=0.20和m2=0.45时，单环铒光纤激光器处于混沌状态；由图3（c，d）可见：当m2=0.35时，单环铒光纤激光器处于二周期状态。

图3　m2取不同值时系统的吸引子和时间序列

综上可见，适当调节双频信号的幅值和频率，就可以使单环铒光纤激光器处于混沌态，而且可以具有不同形状的混沌吸引子。单环铒光纤激光器用于保密通信时，需要它的混沌同步状态，下面研究基于双频调制的单环铒光纤激光器的混沌同步。

2　双频调制的单环铒光纤激光器的混沌同步

2.1混沌同步方案

根据单环铒光纤激光器的结构和工作原理，提出利用混沌信号驱动法实现两个单环铒光纤激光器混沌同步的方案。混沌信号驱动法是用一个系统产生的混沌信号同时驱动另外两个系统，进而使这两个被驱动系统达到混沌同步，相应的方案示意图如图4所示。

图4　同步方案示意图

图4中，Sm、S1和S2都是双频调制的单环铒光纤激光器系统。其中，Sm是驱动系统，S1和S2是两个被驱动系统。驱动系统输出的混沌激光通过光纤耦合器以一定的强度被耦合到两个被驱动系统中，从而实现对两个被驱动系统的驱动。由于驱动系统不受被驱动系统的影响，其动力学方程如下：

对于两个被驱动系统，由于受到驱动系统的驱动，所以其动力学方程增加了一个驱动项，其动力学方程如下：

式中，α是驱动系统对被驱动系统的驱动强度，Em、E1、E2分别是驱动系统和两个被驱动系统内激光的电场强度；Dm、D1、D2分别是驱动系统和两个被驱动系统的反转粒子数；km、k1、k2分别是驱动系统和两个被驱动系统的损耗系数；gm、g1、g2分别是驱动系统和两个被驱动系统的增益系数；Ipm、Ip1、Ip2分别是驱动系统和两个被驱动系统的泵浦光强。

2.2混沌同步的数值模拟

分别讨论两个被驱动系统的初态都是混沌态以及都是周期态时，它们的混沌同步效果。

首先讨论两个被驱动系统的初态都是混沌态的情况：

这里使两个被驱动系统的参数和图3（a，b）对应的参数值相等，但初值不同，分别是（2.49，3.2）和（2.5，3.19），得到的它们被驱动前的混沌态吸引子与图3（a）相似，这里给出被驱动前S1和S2系统的吸引子以及场强E1-E2和反转粒子数D1-D2的关系，如图5所示，可见此时S1和S2系统是非同步的。

这里驱动系统Sm和2个被驱动系统S1和S2分别用图3（e，f）和图5的参数值及初始条件，以驱动强度α做为控制参数数值求解方程（3）-（8），得到的最大条件李指数λMCL如图6所示。

由图6可见：当驱动强度α≥0.1时，最大条件李指数λMCL就为负，根据混沌同步理论表示此时被驱动后的激光器S1和S2都能实现精确同步。为了展示混沌同步效果，这里取驱动强度α=0.4，得到被驱动后的激光器S1和S2的吸引子以及E1-E2和D1-D2的关系如图7所示。

图7（a，b）是混沌吸引子，图7（c）和（d）都是一条线，即E1=E2和D1=D2，所以可见：虽然两个单环铒光纤激光器S1和S2系统的初态是非同步的混沌状态，但当它们被混沌信号驱动，最大条件李指数为负值时，这两个被驱动的单环铒光纤激光器系统实现了混沌的精确同步。

然后讨论被驱动系统的初态都是周期态的情况：

使两个被驱动系统的参数和图3（c，d）对应的参数值相等，但初值不同，分别是（2.39，3.2）和（2.5，3.19），得到它们被驱动前的周期态吸引子与图3（c）相似，给出被驱动前S1和S2系统的场强E1-E2和反转粒子数D1-D2的关系，如图8所示，可见此时S1和S2系统是非同步的。

图7　被驱动后系统S1和S2的关系（a）被驱动后激光器S1的吸引子；（b）被驱动后激光器S2的吸引子；（c）被驱动后激光器S1和S2内的场强E1和E2的关系；（d）被驱动后激光器S1和S2的反转粒子数D1和D2的关系。

图8　被驱动前系统S1和S2的关系（a）被驱动前激光器S1和S2内的场强E1和E2的关系（b）被驱动前激光器S1和S2的反转粒子数D1和D2的关系

用图3（e，f）和图8的参数值及初始条件，以驱动强度α做为控制参数数值求解方程（3）-（8），得到的最大条件李指数λMCL如图9所示。

图9　最大条件李指数λMCL随驱动强度变化曲线

由图9可见：当驱动强度α≥0.04时，最大条件李指数λMCL就为负，根据混沌同步理论表示此时被驱动后的激光器S1和S2之间能实现同步，为了展示混沌同步效果，这里取驱动强度α=0.4时得到被驱动后的激光器S1和S2的吸引子以及E1-E2和D1-D2的关系如图10所示。

图10　被驱动后系统S1和S2的关系（a）被驱动后激光器S1的吸引子；（b）被驱动后激光器S2的吸引子；（c）被驱动后激光器S1和S2内的场强E1和E2的关系；（d）被驱动后激光器S1和S2的反转粒子数D1和D2的关系。

图10（a，b）是混沌吸引子，图10（c）和（d）都是一条线，即E1=E2和D1=D2，所以可见：虽然两个单环铒光纤激光器S1和S2系统的初态是非同步的周期态，但当它们被混沌的激光驱动，最大条件李指数为负值时，这两个被驱动的单环铒光纤激光器系统实现了混沌的精确同步。

3　结论

本文通过双频调制损耗系数研究了单环铒光纤激光器系统的混沌产生，数值研究结果表明通过适当地调节双频信号的幅值和频率，可以使这个系统进入混沌状态，由于参数区间的不同，系统进入混沌状态的途径是阵发方式或倍周期分岔方式，并且给出了混沌状态对应的参数区间。进而利用混沌信号驱动法研究了双频调制的单环掺铒光纤激光器系统的混沌同步，数值结果表明，在适当的驱动强度下，无论被驱动系统的初态是混沌态还是周期态，在选择的参数范围内都可以达到混沌同步。这里的结果对于单环掺铒光纤激光器的混沌应用是有意义的。

参考文献

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Generation and Synchronization of Chaos in Erbium-doped Fiber Single-ring Lasers with Double-frequency Modulation

LI Xinrui，WANG Zijian，LI Zeng，FENG Yuling
（School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

Abstract：This paper investigates chaos generation in erbium-doped fiber single-ring lasers（EDFSRL）by modulating the loss with double-frequency signal. The numerical results show that this EDFSRL system can into chaotic states by properly adjusting the amplitude and frequency of double-frequency sine signal，and the routes of going to chaotic states and the parameter range of chaotic states are given. Then，chaos synchronization is studied by using the chaotic driving method for the EDFSRLs with double-frequency modulation. The results illustrate that whether the two EDFSRLs with double-frequency modulation are chaotic or periodic before being driven，they can realize chaotic synchronization with a suitable driving intensity under which the maximum condition Lyapunov exponent is negative.

Key words：Erbium-dope fiber single-ring lasers；Lyapunov exponents；chaos generation；chaos synchronization

中图分类号：O415.5

文献标识码：A

文章编号：1672-9870（2016）02-0005-05

收稿日期：2015-10-27

基金项目：吉林省教育厅“十二五”科学技术研究项目（2012JYT09）

作者简介：李昕芮（1990-），女，硕士研究生，E-mail：1052254786@qq.com

通讯作者：冯玉玲（1965-），女，博士，教授，E-mail：FYL0819@aliyun.com