算子方程Xs+A*X－tA=Q的正算子解问题

杨凯凡， 李金龙， 窦艳妮

算子方程Xs+A*X－tA=Q的正算子解问题

杨凯凡1， 李金龙1， 窦艳妮2

(1．陕西理工大学数学与计算机科学学院，陕西汉中723001; 2．陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安710062)

算子方程是算子论中的一个热点问题，近年来得到很大的发展．利用算子论知识和构造迭代序列的方法，研究算子方程Xs+A*X－tA=Q的正算子解的问题，给出了算子方程Xs+A*X－tA=Q正算子解存在的一些必要条件和充分条件，并研究了方程中各算子的范数、谱半径之间的关系，确定了解的范围．

算子方程;谱半径;正算子

近年来，X+A*X－2A=Q，X－A*X－tA=I等形式的矩阵方程受到国内外许多学者的关注(参见文献［1－5］)．前人在有限维空间上，利用矩阵论的知识，得到了这类方程有正定矩阵解的条件．本文将前人的研究结果从有限维空间推广到无限维Hlibert空间中，在无限维Hlibert空间上，利用算子论的知识，研究了算子方程Xs+A*X－tA=Q正算子解问题．

设H是一个无限维可分Hilbert空间，B(H)表示H上的所有有界线性算子组成的全体．本文主要研究非线性算子方程

的正算子解的问题，其中X是B(H)上的未知算子，A，Q∈B(H)是给定的算子且Q＞0，t＞s是给定的正整数．本文给出了方程(1)正算子解存在的一些必要条件和充分条件．首先，给出本文中用到的一些符号和术语．

设A∈B(H)，如果对任意x∈H，都有(Ax，x)≥0，则称A为正算子，记作A≥0(此处(x，y)表示向量x，y的内积)．如果A是正算子并且是可逆的，则记为A＞0．若T，S∈B(H)是自伴算子，T≥S是指T－S为正算子，T＞S是指算子T－S为正算子并且是可逆的．对于A∈B(H)，A*、ω(A)、σ(A)、r(A)分别表示算子A的伴随算子、数值域半径、谱和谱半径．

1 预备知识

首先，给出一些定义和基本引理．

定理1．1［6］设T∈B(H)，若T是正规的，则有r(T)=‖T‖．

定理1．2［6］设A、B是B(H)上的自伴算子且满足A≤B，则对任意T∈B(H)，有T*AT≤T*BT．

定理1．3［7］设P、Q是正算子，且满足P＞Q．如果PQ=QP，则对任意实数t≥1，有Pt≥Qt．

定理1．4［7］设T是B(H)上的可逆算子，则对任意x∈H有

对于B(H)上的正算子，显然有:

1)若P≥Q＞0，则P－1≤Q－1;

2)对于B(H)上的正算子A，有A≤‖A‖I．

2 主要结论及其证明

证明 若算子方程(1)有正算子解X，则0≤A*X－tA≤Q且Xs≤Q．由A*X－tA＜Q可得

定理2．2 若算子方程(1)有正算子解X，记‖Q‖=a，则

证明 1)从方程(1)有

即

所以

根据X的谱分解可得

因此有

因此

2)由方程

有

根据Douglas值域包含定理，存在算子C∈B(H)且‖C‖=1使得

因此

所以

由此可得

定理2．3 若算子方程Xs+A*X－tA=Q有正算子解X，则有

证明 显然A*X－tA≥0，所以由方程可知

因为t＞s，所以

所以

同理

所以

即

证明 若算子方程Xs+A*X－tA=Q有正算子解X且记‖Q‖=a则

所以

又因为

所以

因此A不是下有界的．

定理2．5 设A∈B(H)．算子方程Xs+A*X－tA=Q有正可逆算子解X当且仅当A有如下的分解形式Z，其中W、Z满足W*W+Z*Z=Q且W是可逆的．

证明 设X为算子方程Xs+A*X－tA=Q的正

即X是方程(1)的一个正可逆算子解．

定理2．6 若算子方程Xs+A*X－tA=Q有正算子解X，则且其中是方程T)在区间上的解．

证明 来考虑迭代序列

令X是方程(1)的一个正算子解，则Xs=QA*X－tA≤Q，即Xs≤α0Q．假定Xs≤αkQ有

因此对任意n=0，1，2，…，Xs≤αnQ．容易验证序列{αn}是一个单调递减序列，所以{αn}收敛．令则

下面证明序列{αn}的极限在区间内．假设显然α0=1＞，则

［1］RAN A C M，MARTINE C B．On the nonlinear equation X+A*F(X)A=Q:solutions and perturbation theory［J］．Linear Algebra Appl，2002，346(12):15－26．

［2］ESMAILI S，ESLSHCHI M R．A modified spectral method for solving operator equations［J］．J Comput Appl Math，2016，292(5):105－135．

［3］EL－SAYED S M，PETKOV M G．Iterative methods for nonlinear matrix equations X+A*X－αA=I［J］．Linear Algebra Appl，2005，403(3):45－52．

［4］HASANOV V I．Positive definite solutions of the matrix equations X±A*X－qA=Q［J］．Linear Algebra Appl，2005，404(22): 166－182．

［5］ARGYROS I K，GEORGE S．Iterative regularization methods for nonlinear ill－posed operator equations with m－accretive mappings in banach spaces［J］．Acta Math Sci，2015，35(6):1318－1324．

［6］CONWAY J B．A Course in Functional Analysis［M］．New York:Springer－Verlag，1990．

［7］GUSTAFSON K E，RAO D K M．Numerical Range［M］．New York:Springer－Verlag，1997．

［8］杨凯凡，张文鹏，窦艳妮．一类算子方程的正算子解［J］．西北大学学报(自然科学版)，2014，101(4):537－539．

［9］尹忠旗．基于值域包含的不适定算子方程的收敛速度［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2014，37(5):635－638．

［10］徐华伟，王大鹿．一类新反向混合单调算子方程组解的存在惟一性［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2013，36(4): 578－582．

［11］王少英，田学刚，邓学辉．算子方程(X*)nX+X*An=B的解［J］．西南大学学报(自然科学版)，2010，32(8):138－143．

［12］张朝伦．关于算子方程(U*)nT=λT的解［J］．西华大学学报(自然科学版)，2006，25(5):81－83．

［13］刘兴元．具p－Laplacian算子方程多点边值问题3个正解的存在性［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2012，35(1): 78－81．

［14］尹忠旗．基于值域包含的不适定算子方程的收敛速度［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2014，37(5):635－638．

［15］韦煜明，王勇，唐艳秋，等．具p－Laplacian算子时滞微分方程边值问题解的存在唯一性［J］．广西师范大学学报(自然科学版)，2012，30(2):48－53．

［16］DENG C Y．On the solutions of operator equation CAX=C=XAC［J］．J Math Anal Appl，2013，398(2):664－670．

Positive Solutions to the Operator Equation Xs+A*X－tA=Q

YANG Kaifan1， LI Jinglong1， DOU Yanni2

(1．College of Mathematics and Computer Science，Shaanxi Sci-Tech University，Hanzhong 723001，Shaanxi; 2．College of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi’an 710062，Shaanxi)

In this paper，by using the operator theory and the iterative sequence，the positive operator solutions to the operator equation Xs+A*X－tA=Q are studied．The necessary conditions and sufficient conditions for the existence of positive operator solutions to the equation are derived respectively．Also，the relations of operators A，Q and X in the form of norm and spectral radius are discussed when the equation has positive solutions．And the range of the solutions is determined．

operator equation;spectral radius;positive operator

O177．91

A

1001－8395(2016)05－0655－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．007

(编辑 周 俊)

2015－09－29

国家自然科学基金(11301318)和陕西省教育厅基金(16JK1133)

杨凯凡(1979—)，女，副教授，主要从事算子理论的研究，E－mail:ykf201@126．com

2010 MSC:47A10;47A50;47A46