模的Pn－内射维数与环的整体Pn－内射维数

谢 晋，王芳贵，熊 涛

模的Pn－内射维数与环的整体Pn－内射维数

谢 晋，王芳贵*，熊 涛

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

设R是任何环，n是一固定的非负整数．模W称为Pn－内射模，是指对任何投射维数不超过n的模P，有Ext1R(P，W)=0(谢晋，王芳贵，熊涛．四川师范大学学报(自然科学版)，2016，39(2):159－162．)，引入模的Pn－内射维数和环的整体Pn－内射维数的概念，证明若l．FPD(R)＜∞，则对任意n≥l．FPD(R)，有l．Pndim(R)=l．FPD(R)．也引入了Pn－遗传环的概念，证明任何环都是左P1－遗传环，以及当n≥2时，R是左Pn－遗传环当且仅当l．FPD(R)≤1．

Pn－内射模;Pn－内射维数;整体Pn－内射维数;Pn－遗传环

1 预备知识

本文恒设R是有单位元的结合环，所有的模均指左R－模，RM表示所有左R－模所构成的模类，pdRM和idRM分别表示模M的投射维数和内射维数，gl．dim(R)表示环R的整体维数，dim(R)表示环R的Krull维数，Pn表示投射维数不超过n的模类．在文献［1］中引入Pn－内射模的概念，这是一类较n－余挠模更广的模类．

同调代数使用范畴的理论和方法，以Hom、Ext和Tor等基本函子为工具，在刻画环的结构理论中发挥了重要作用．自H．Bass［2］引入环的 finitistic维数起，各类维数的考察一直都是同调代数研究的核心［3－6］．给定一个模，通过对模的多种不同分解式，可以定义不同的同调维数(模的维数和环的整体维数)．例如文献［7］利用内射模的平坦维数定义环的IF维数，以此刻画环的结构，特别是凝聚环的结构．文献［8］用环的整体余挠维数刻画了n－完全环，文献［9］引入环的整体弱内射维数，也刻画了几乎完全整环．文献［10］引入n－余挠模，并提出用模的n－余挠维数和环的整体n－余挠维数来刻画环结构．由此看到，不同的同调维数可以按照不同的要求，刻画具体问题中的不同环类．本文引入模的Pn－内射维数和环的整体Pn－内射维数，以此刻画具有有限finitistic维数的环类，左遗传环与左Pn－遗传环．

2 模的Pn－内射维数

定义2．1 设N是R－模．

1)如果存在正合列其中每个Wi是Pn－内射模，则此正合列称模N的Pn－内射分解．显然，每个R－模都有Pn－内射分解．

2)如果存在正合列其中，m是非负整数，所有的Wi都是Pn－内射模，则称模N的Pn－内射维数有限，并用PnidRN表示这样的非负整数m的最小值;如果没有这样的非负整数m存在，则记PnidRN=∞．

例2．2 对R－模N，以下各条是显然的:

1)N是Pn－内射模当且仅当PnidRN=0;

2)PnidRN≤idRN;

3)如果m≤n，则PmidRN≤PnidRN．

定理2．3 设m是非负整数．对模N，以下各条等价:

1)PnidRN≤m;

2)对任意M∈Pn，有Extm+1R(M，N)=0;

3)对任意M∈Pn，及任何i≥1，有Extm+iR(M，N)=0;

4)设0→N→W0→W1→…→Wm－1→Wm→0是正合列，其中，W0、W1、…、Wm－1是Pn－内射模，则Wm是Pn－内射模;

5)设0→N→W0→W1→…→Wm－1→Wm→0是正合列，其中，W0、W1、…、Wm－1是内射模，则Wm是Pn－内射模．

证明 1) 3)由假设，存在正合列(2)．由于每一Wi是Pn－内射模，引用文献［1］的命题2．3得到

3) 2)显然．

2) 4)由假设，对任意M∈Pn，有=0，故Wm是Pn－内射模．

4) 5) 1)显然．

命题2．4 设0→A→W→C→0是正合列，其中W是Pn－内射模．

1)如果PnidRA=0，则PnidRC=0;

2)如果PnidRA＞0，则PnidRC=PnidRA－1．

证明 1)由文献［1］命题2．4即可得证．

2)对任意 M∈Pn及 m≥0，由同构关系即得．

推论2．5 设N为R－模，m是非负整数，则PnidRN≥m当且仅当对每个1≤i≤m，存在R－模Mi∈Pn，使得．从而若PnidRN＜∞有

PnidRN= sup{i∈N|存在M∈Pn，使得

命题2．6 设0→A→B→C→0是正合列．

1)如果{PnidRA，PnidRB，PnidRC}中有2个取有限值，则第三个也取有限值;

2)如果A是Pn－内射模，则PnidRB=PnidRC;

3)PnidRB≤max{PnidRA，PnidRC};

4)PnidRC≤max{PnidRA－1，PnidRB};

5)PnidRA≤max{PnidRB，PnidRC+1}．证明 对任意M∈Pn及m≥0，由正合列

及定理2．3即可得证．

命题2．7 设{Mi|i∈Γ}是一簇R－模，则

证明 对任意M∈Pn及m≥0，由即可得证．

对R－模 N，知道一般情形下，有 PnidRN≤idRN．什么时候两者可以相等?命题2．8回答了这个问题．

命题2．8 设环R满足:每个内射R－模的投射维数都不超过n(例如，R是n－Gorenstein环)．设N是R－模，idRN＜∞，则PnidRN=idRN．

证明 设idRN=m，显然有PnidRN≤m．由文献［13］的推论4．7．2，存在内射模E，使得ExtmR(E，N)≠0．由条件E∈Pn，于是有PnidRN≥m，因此得到PnidRN=m．

3 环的整体Pn－内射维数

本节引入和讨论环的整体Pn－内射维数．

定义3．1 对环R，其左整体Pn－内射维数l．Pndim(R)定义为

对环R，其左 finitistic维数定义为 l．FPD(R)= sup{pdRM|M∈RM，且pdRM＜∞}．

例3．2 下面的事实是显然的:

1)l．Pndim(R)≤l．gl．dim(R);

2)如果 0≤m≤n，则 l．Pmdim(R)≤l．Pndim(R);

3)注意，对任何环R，每个R－模都是P0－内射模，亦即对任何环R，l．P0dim(R)=0;

4)设n≥1，由文献［1］的定理3．4，l．Pndim (R)=0当且仅当l．FPD(R)=0，从而当R是交换环时，Pndim(R)=0当且仅当R是完全环［14］．

定理3．3 设m是一非负整数，则对环R来说，以下各条等价:

1)l．Pndim(R)≤m;

2)对任意M∈Pn，以及N∈RM，有Extm+1R(M，N)=0;

3)对任意M∈Pn，以及N∈RM，及任意i≥1，有

4)sup{pdRM|M∈Pn}≤m，从而有l．Pndim(R) =sup{pdRM|M∈Pn}．

证明 1) 2) 3)由定理2．3可得．

2) 4)容易验证．

推论3．4 对任何环R，l．Pndim(R)≤n．

证明 由定理3．3的4)即得．

关于和 H．Bass［2］定义的环的 finitistic维数有，从而有pdRM≤k－n+m．

推论3．7 设k≥n，如果l．Pndim(R)≤m，则l．Pkdim(R)≤k－n+m．

4 Pn－遗传环

l．FPD(R)的关系，有下面的推论．

推论3．5 如果l．FPD(R)=m＜∞，则对任何n≥m，有l．Pndim(R)=m．

定理3．6 设l．Pndim(R)≤m，k≥n，M∈Pk，则pdRM≤k－n+m．

证明 设K是M的第(k－n)个合冲，则pdRK≤n．设N是R－模，由l．Pndim(R)≤m，由定理3．3

用整体维数不超过1的条件可以刻画所谓遗传环的结构，自然地，可以引入和刻画Pn－遗传环．

定义4．1 环R被称为左Pn－内射遗传环，简称为Pn－遗传环，是指每个Pn－内射模的商模还是Pn－内射模，等价地，l．Pndim(R)≤1．

例4．2 显然，左遗传环是左Pn－遗传环．

命题4．3 任何环都是左P1－遗传环．

证明 设E是一P1－内射模，N是E的子模，则有正合列:0→N→E→E/N→0．由文献［1］的推论2．6知E/N作为N的第1个上合冲是P1－内射模，则R是左P1－遗传环．

定理4．4 设n≥2，则对环R来说，以下各条等价:

1)R是左Pn－遗传环;

2)对任意M∈Pn，有pdRM≤1;

3)每个内射模的商模是Pn－内射模．

证明 1) 2)在定理3．3中取m=1即得．

1) 3)这是平凡的．

3) 1)设0→N→W0→W1→0是正合列，其中W0是Pn－内射模，设E是W0的内射包，并记W= E/N，则有行正合的交换图1．

因此有正合列0→W0→E W1→W→0．由假设，W是Pn－内射模，故有W1为Pn－内射模，从而R为左Pn－遗传环．

定理4．5 设n≥2，则对环R来说，以下各条等价:

1)l．Pndim(R)≤1;

2)l．P2dim(R)≤1;

3)l．FPD(R)≤1．

证明 1) 2)由l．P2dim(R)≤l．Pndim(R)≤1即得．

2) 3)设 M为 R－模，且 pdRM＜∞．如果pdRM＞1，则必有模N，使得pdRN=2．在定理3．3中取n=2和m=1，有pdRN≤1，矛盾，故pdRM≤1，从而有l．FPD(R)≤1．

3) 1)设 M∈Pn，则 pdRM＜∞，由假设有pdRM≤1．由定理3．3有l．Pndim(R)≤1．

文献［10］中引入了左Cn－遗传环的定义，因此有下面的结论:

推论4．6 设n≥2，则R是左Cn－遗传环当且仅当R是左Pn－遗传环．

由于当 R是诺特整环时，由文献［15］有dim(R)=FPD(R)，故有如下推论:

推论4．7 设R是诺特整环，且dim(R)≤1，则R是P2－遗传环．

注1 1)推论4．7实际指出了左Pn－遗传环未必是遗传环．

2)对任何一种整体维数，对应于1维情形都可以认为是一种遗传性．文献［2］定义的finitistic维数，0维的情形的刻画是比较详细的．特别是当R是交换环时，FPD(R)=0当且仅当R是完全环［14］．但关于l．FPD(R)=1的环则知之甚少．文献［14］指出，若 R是交换凝聚环，FPD(R)=1，则 R是Noether环．从讨论可以看到，定理4．5实质给出l．FPD(R)=1的环的一种新的刻画;当 R是Noether整环时，满足FPD(R)=1的环就是(Krull维数)1维环．

定理4．8 设n≥2，则对环R来说，以下各条等价:

1)R是左遗传环;

2)R是左Pn－遗传环，且l．gl．dim(R)≤n;

3)R是左P2－遗传环，且l．gl．dim(R)≤n;

4)R是左Pn－遗传环，且l．gl．dim(R)＜∞．

证明1) 2)显然．

2) 1)由定理4．4知，每个内射模的商模是Pn－内射模．由文献［1］的定理3．1，每个Pn－内射模是内射模，因此R是左遗传环．

2) 3)由定理4．5即得．

1) 4)显然．

4) 1)设l．gl．dim(R)=k，若k≤1，自然有R是左遗传环．设k≥2，由条件R是左P2－遗传环，且l．gl．dim(R)≤k，故由1)和3)的等价性已有R是左遗传环．

致谢 四川师范大学研究生优秀论文培育基金(校研字201554)对本文给予了资助，谨致谢意．

［1］谢晋，王芳贵，熊涛．Pn－内射模及其刻画［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2016，39(2):159－162．

［2］BASS H．Finitistic dimension and a homological generalization of semi－primary rings［J］．Trans AMS，1960，95:466－488．

［3］王芳贵．整环的赋值扩环及赋值维数［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2010，33(4):419－425．

［4］李庆，王芳贵．UTM整环上的ω－维数［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2010，33(1):24－26．

［5］周霞，王芳贵．几乎Prufer整环多项式环的维数和分式环［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2010，33(4):437－442．

［6］DING N Q，CHEN J L．The homological dimension of simple modules［J］．Bull Austral Math Soc，1993，48(2):265－274．

［7］DING N Q，CHEN J L．The flat dimension of injective modules［J］．Manusc Math，1993，78:165－177．

［8］MAO L X，DING N Q．The cotorsion dimension of modules and rings［J］．Abelian Groups Rings Modules＆Homological Algebra，2006，249:217－233．

［9］FUCHS L，LEE S B．Weak－injectivity and almost perfect domains［J］．Algebra，2009，321:18－27．

［10］熊涛．由模类Fn决定的同调理论［D］．成都:四川师范大学，2016．

［11］LEE S B．Weak－injective modules［J］．Commun Algebra，2006，34:361－370．

［12］FUCHS L，LEE S B．On the cotorsion pair(P1，D)［J］．Commun Algebra，2014，42:2311－2318．

［13］王芳贵．交换环与星型算子理论［M］．北京:科学出版社，2006．

［14］VASCONCELOS W V．The Rings of Dimension Two［M］．New York:Marcel Dekker，1976．

［15］GRUSON L．Criteres de plattitude et de projectivite［J］．Invent Math，1971，13:1－89．

The Pn-injective Dimension of Modules and the Global Pn-injective Dimension of Rings

XIE Jin，WANG Fanggui，XIONG Tao

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be any ring，and n a fixed nonnegative integer．An R-module W is called a Pn-injective module if Ext1R(P，W)= 0 for any R-module P with projective dimension at most n(J．Xie，F．G．Wang，T Xiong，J Sichuan Normal University(Natural Science)，2016，39(2):159－162．)．In this paper，we introduce the concepts of the Pn-injective dimension of a module and the global Pn-injective dimension of a ring．It is shown that if l．FPD(R)＜∞，then l．Pndim(R)=l．FPD(R)for any n≥l．FPD(R)．We also introduce the concept of Pn-hereditary ring，and prove that any ring is left P1-hereditary ring，when n≥ 2，R is a left Pn-hereditary ring if and only if l．FPD(R)≤1．

Pn-injective module;Pn-injective dimension;global Pn-injective dimension;Pn-hereditary ring

O154

A

1001－8395(2016)05－0630－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．002

(编辑 郑月蓉)

2015－01－16

国家自然科学基金(11171240)

*通信作者简介:王芳贵(1955—)，男，教授，主要从事交换代数、同调代数与代数K－理论的研究，E－mail:wangfg2004@163．com

2010 MSC:16E10;16E30