关于Abel差集的一个猜想及其推广

何宗友

(宁波新芝生物科技股份有限公司，浙江 宁波 315013)



关于Abel差集的一个猜想及其推广

何宗友

(宁波新芝生物科技股份有限公司，浙江 宁波 315013)

摘要：设p,q是素数,c,d是整数,c≥1,d≥0,利用高次丢番图方程的结果简短直接统一地证明了:(i)方程x2=q2dc2p2n-2cpn+r+1,当且仅当p=q时有正整数解(x,c,n,r)=(q2d+n-rc-1,c,n,d)满足n≥r；(ii)方程x2=22dc2p2n-cpn+r+1,当且仅当p=2时有正整数解(x,c,n,r)=(22d+1+n-rc-1,c,n,d+1)满足n≥r.

关键词：丢番图方程；Pell方程；Abel差集；正整数解

设p是素数,a,b是正整数,丢番图方程

x2=ap2n-bpn+r+1

(1)

与数论、组合论及编码理论中的许多问题有密切联系[1-3].1992年S.L.Ma[4]在研究乘子为-1的Abel差集存在时提出了两个猜想:

猜想1设(a,b)=(22m+2,22m+2),则方程(1)的正整数解(x,m,n,r)都满足n=r.

猜想2设(a,b)=(22m+2,2m+2),则方程(1)当且仅当p=5时有正整数解(x,m,n,r)=(49,3,1,2).

1996年乐茂华和向青[5]证明了猜想1；1996年郭永东[6]证明了p为奇数时猜想1仍然正确；2009年杨仕椿[7]推广文献[6]的结果；2012年朱敏慧和成涛[8]证明了猜想2中方程没有满足n≥r正整数解(x,m,n,r)；猜想2至今仍然尚未解决. 2009年李伟勋[9]证明了(a,b)=(1,1)时方程(1)没有满足n>r>1正整数解(x,n,r)；2014年管训贵[10]证明了(a,b)=(c2,c)时方程(1)没有满足n>r>1正整数解(x,c,n,r).本文推广了文献[8-10]的结果,利用文献[11]的定理1给出简短直接统一的证明.

定理1设(a,b)=(q2dc2,2c),q是素数,c,d是整数,c≥1,d≥0,则方程(1)当且仅当p=q时有正整数解(x,c,n,r)=(q2d+n-rc-1,c,n,d)满足n≥r.

定理2设(a,b)=(22dc2,c),q是素数,c,d是整数,c≥1,d≥0,则方程(1)当且仅当p=2时有正整数解(x,c,n,r)=(22d+1+n-rc-1,c,n,d+1)满足n≥r.

注: 在定理1中取d=0,c=2m+1,(a,b)=(q2dc2,2c)=(22m+2,2m+2),即得文献[8]的定理；在定理2中取d=0,c=1,(a,b)=(22dc2,c)=(1,1),即得文献[9]的定理；在定理2中取d=0,(a,b)=(22dc2,c) =(c2,c),即得文献[10]的定理.

1 两个引理

引理1[12]设D是正整数且不是平方数, (u,v)是Pell方程

u2-Dv2=1

(2)

引理2[11]设D是正整数且不是平方数,则方程

x2-Dp2n=1

(3)

除开D=22t-2-1,(u1,v1)=(2t-1,1),t>1是正整数时,仅有一组解(x,p,n)=(22t-1-1,2,t)外,最多只有一组解(x,p,n)且满足pn=v1,其中(u1,v1)是Pell方程u2-Dv2=1的基本解.

2定理的证明

定理1的证明.当(a,b)=(q2dc2,2c),n≥r时,由方程(1)得x2=q2dc2p2n-2cpn+r+1,整理得

x2-cpn-r(q2dcpn-r-2)p2r=1

(4)

可以验证(u,v)=(q2dcpn-r-1,qd)是Pell方程

u2-cpn-r(q2dcpn-r-2)v2=1

(5)

由引理2知,方程(4)最多只有一组解(x,p,r)且满足pr=qd,故p=q,r=d,x=q2dcpn-r-1=q2d+n-rc-1.定理1证完.

定理2的证明.当(a,b)=(22dc2,c),n≥r时,由方程(1)得x2=22dc2p2n-cpn+r+1,整理得

x2-cpn-r(22dcpn-r-1)p2r=1

(6)

可以验证(u,v)=(22d+1cpn-r-1,2d+1)是Pell方程

u2-cpn-r(22dcpn-r-1)v2=1

(7)

的一组正整数解,且满足

参考文献：

[1]Calderbank R.On uniformly packed[n,n-k]Codes Over PG(q) and class of caps in PG(k-1,q)[J]. London Math. Soc.,1982,26:112-116.

[2]Ma S L.A survey of Partial differentce sets[J].Dexigns cryptoraphy,1994,4:221-261.

[3]Yuan Jin.On the product of consecutive elements of an arithmetic progression[J].Annales Univ Sci.Budapest Sect Comp.,2000,149(1):114-123.

[4]Ma S L.McFarland’s conjecture on abelian difference sets with multiplier-1[J].Designs Codes And Cryptography,1992,1(4):321-322.

[5]Le M H,Xiang Q.A result on Ma’s conjecture[J].J.Combin Theory,Ser A,1996,73(1):181-184.

[6]Guo Y D. On the Diophantine equation x2=22ak2m-22akm+m+1[J].Discuss Math,1996(16): 10-14．

[7]杨仕椿.与 Abel 差集有关的一个丢番图方程的解[J].河南科学,2009,21(1):25-26．

[8]朱敏慧,成涛.关于Abel差集的一个猜想[J].黑龙江大学自然科学学报,2012,29(1):39-41.

[9]李伟勋.关于指数型超椭圆方程x2=p2m-pm+m+1[J].数学研究,2009,42(4):427-429.

[10]管训贵.与Abel差集有关的一个指数型超椭圆方程[J].周口师范学院学报,2014,31(5):1-2.

[11]何宗友.关于一类指数Diophantine方程的解[J].宁波大学学报:理工版,2015,28(2):60-62.

[12]曹珍富.不定方程及其应用[M].上海:上海交通大学出版社,2000:6-7.

A conjecture on Abel difference sets and it’s generalize

HE Zongyou

(Ningbo Scientz Biotechnology Co.,Ltd.,Zhejiang Ningbo 315013,China)

Abstract:Let p,q are prime numbers, c,dare integers, c≥1,d≥0, using the results of high power Diophantine equation brief directly uniformly proved that:(i)the equation x2=q2dc2p2n-2cpn+r+1, if and only if the p=q, there is positive integer solutions (x,c,n,r)=(q2d+n-rc-1,c,n,d) to satisfy n≥r；(ii)the equation x2=22dc2p2n-cpn+r+1, if and only if the p=2,there is positive integer solutions (x,c,n,r)=(22d+1+n-rc-1,c,n,d+1) to satisfy n≥r.

Key words:diophantine equation；Pell equation；Abel difference set；positive integer solutions

收稿日期：2015-03-20;修回日期：2015-09-24

作者简介：何宗友(1972- ),男,陕西西乡人,主要研究方向：数论.E-mail:hezongyou@126.com

中图分类号：O156.7

文献标志码：A

文章编号：1671-9476(2016)02-0056-02

DOI：10.13450/j.cnki.jzknu.2016.02.012