一维抛物型方程反问题的变分迭代解法

黄得建，李艳青

(琼州学院 数学系，海南 三亚 572022)



一维抛物型方程反问题的变分迭代解法

黄得建，李艳青*

(琼州学院 数学系，海南 三亚 572022)

摘要：应用变分迭代法研究了第一边值条件下抛物型偏微分方程反问题的数值解法. 在第一边值条件的基础上，利用附加条件确定抛物型偏微分方程中的一个未知参数和方程的精确解. 两个例子说明了这种方法的有效性.

关键词：变分迭代法；反问题；抛物型方程；拉格朗日乘子；未知参数

一维反抛物型方程在数学、物理和工程技术中有很广泛的应用[1-3]，文献[4-6]给出这类问题解的存在性、唯一性以及这种模型在许多问题中的应用，正是因为这种模型的重要性，近年来，许多数学工作者对抛物型反问题的数值解法做了许多研究[7-10].

本文考虑下面的一维抛物型方程反问题[11]

(1)

其中φ(x),μ1(t)和μ2(t)为初始和边界条件，f(x,t)为已知函数，p(t)为未知系数.如何根据适当的附加条件来确定未知函数p(t)在理论研究和实际应用方面都有很重要的意义. 如果u(x,t)表示温度分布函数，那么问题(1)可视为确定未知系数p(t)的控制问题.

为了确定未知系数p(t)，需要附加条件，选取

(2)

或

(3)

其中s(t)，E(t)且|E(t)|>0为已知函数，x*是区间(0,1)内固定的一点. 文献[1，5，11]给出问题(1)～(2)或(1)～(3)的解的存在唯一性.

1变分迭代法

变分迭代法是何吉欢提出的[12-13]，这种方法被成功的应用到Burger’s方程[14]、双曲型偏微分方程[15]、强非线性方程[16]、分数阶非线性方程[17]和广义KdV方程[18].本文将应用变分迭代法求出问题(1)～(2)或(1)～(3)的精确解和未知参数p(t).

应用以下两个变换[19]，设

(4)

和

(5)

则问题(1)～(2)或(1)～(3)能化为如下形式：

(6)

以及

(7)

或

(8)

由式(4),(5)可知

(9)

(10)

显然，原问题(1)～(2)或(1)～(3)同辅助问题(6)～(7)或(6)～(8)是等价的. 文献[4-6]已给出问题(6)～(7)或(6)～(8)解的存在性和唯一性.

根据变分迭代法，对式(6)中的第一个方程构造t方向上的校正泛函如下形式

(11)

或

(12)

对式(11)或(12)两边变分，整理可得

利用分步积分公式，可得

即

所以有

将λ(t)≡-1代入(11)或(12)，可得到如下解的迭代公式

(13)

或

(14)

由式(13)或(14)可得到 (6) 的解w(x,t) ，再由式(9)和(10)可得原问题的解及未知参数p(t).

2实例

例1考虑问题(1)～(2)，其条件如下：

附加条件为：

设

由迭代公式(13)可得：

……

所以，有

由式(9)和(10)可得原问题的解和参数p(t)：

例2考虑问题(1)～(3)，其条件如下：

附加条件为：

设

由迭代公式(14)可得

……

所以，有

由式(9)和(10)可得原问题的解和参数p(t)：

3结论

本文成功地将变分迭代法运用于一维抛物型方程反问题的求解，运用这种方法不需要分离变量，方便使用数学软件进行编程，不占用太多存储空间，收敛速度也比较快，是一种非常方便实用的方法.

参考文献：

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The variational iteration method for solving an inverse problem of one-dimensional parabolic equation

HUANG Dejian1， LI Yanqing*

(Department of Mathematics, Qiongzhou University, Sanya 572022, China)

Abstract:In this paper ,the variational iteration method is used to study the exact solution of an inverse parabolic problem. Using the additional given data , this method gets the exact solution and unknown parameter of parabolic partial difference with equation with the first boundary conditions. Two examples show the efficiency of the variational iteration method.

Key words:variational iteration method; inverse problem; parabolic equation; Lagrange multipliers; unknown parameter

中图分类号：O241

文献标志码：A

文章编号：1671-9476(2016)02-0034-05

DOI：10.13450/j.cnki.jzknu.2016.02.007