支链布局对重力场下3-RS并联机构静柔度的影响分析

李　祺，刘海涛，刘　君

(1. 天津大学机构理论与装备设计教育部重点实验室，天津 300072；2. 天津航天机电设备研究所，天津 300301)



李祺1, 2，刘海涛1，刘君1

(1. 天津大学机构理论与装备设计教育部重点实验室，天津 300072；2. 天津航天机电设备研究所，天津 300301)

摘 要：研究了支链布局对重力场下3-RS并联机构静柔度的影响．首先通过分别构造静力及静变形在操作空间与关节空间之间的映射模型，将切削力/力矩、运动部件重力及支链分布重力引起的变形映射到末端，进而借助线性叠加原理构造系统的静柔度模型；然后建立子装配体在各自局部坐标系中定义的柔度系数与界面柔度系数间的映射模型；最后，在利用有限元软件验证所建立静柔度模型正确性的基础上，研究机构末端重力引起的变形及末端静柔度随支链布局不同的变化规律．研究结果表明，全对称布局的3-RS并联机构具有较好的抵抗重力和外载荷的能力，为该类装备的设计提供了理论依据．

关键词：重力场；静柔度模型；并联机构

由于龙门立式5轴联动加工机床的结构局限性，普遍存在体积质量大、不宜实现高速运动、排屑困难和刀具空间定向速度低等缺陷，为此，工业界提出了采用少自由度并联动力头辅以X/Y长行程导轨构成移动加工工作站的解决方案[1]，这一思路在德国DSTechnology公司以Sprint Z3[2]头搭建的Ecospeed和Ecolinear[3]数控加工装备中得到体现，并已在飞机制造企业得到成功应用．

对于高速铣削加工类并联装备，刚度是评价整机性能的重要指标，而建立精准完备的刚度模型是实现刚度性能评价的重要环节．目前，并联机构刚度建模方法可大致分为两类：①基于有限元法(finite element analysis，FEA)或结构矩阵分析(matrix structural analysis，MAS)的数值方法[4-6]；②将机器人学与有限元法及结构力学相结合的解析(analytical)和半解析(semi-analytical)建模方法[7-8]．因能精确描述复杂结构件的外形尺寸、界面接触刚度以及分布载荷等因素，有限元法是目前最准确的建模方法．但当机构位形发生变化时，有限元法需要不断重复网格划分与求解，进而导致复杂构型装备的刚度分析耗时巨大，故该方法多用于设计最终阶段的验证与校核．解析/半解析刚度建模方法最早可追溯到Gosselin[9]提出的虚关节法，其主要贡献为提出将主动关节刚度简化为一维弹簧，通过建立关节/操作力与各自引起变形间的映射关系，构造出外载荷与末端变形间的映射关系，即刚度矩阵．该方法后被许多学者引用并通过计入零部件弹性而不断得到完善，可用于构造更为精准的刚度模型．例如，Zhang等[10]以一种含被动支链的3自由度并联机构为例，建立了计及支链和关节变形的刚度模型；Rezaei等[11]以3-PSP并联机构为对象，分别采用集中和分布参数模型研究了其刚度建模方法．为了得到刚度系数的解析解，上述工作均将支链简化为形状规则的几何形体．为提高支链刚度系数建模精度，Wang等[8]采用部件有限元分析和插值算法，以一类球坐标混联机器人为对象，提出一种计算支链刚度系数的半解析方法，并通过试验验证了该方法的有效性；Li等[12]和Klimchik等[13]先后沿用这一思路研究了3-RP S和Orthoglide等并联机构的半解析刚度建模和优化问题．注意到刀具末端点变形除由切削载荷引起的变形外，还包括由构件重力引起的变形，特别是对卧式布局而言，不能忽略由重力引起的末端变形，为此赵铁石等[14]和Quennouelle等[15]将重力处理成集中力，分别以Stewart平台和Tripteron机构为对象研究了考虑重力场的刚度建模问题．在进一步考虑了支链分布重力、运动部件重力以及运动部件和铰链弹性后，Li等[16]和Wang等[17]分别以A3并联动力头和3-SP R机构为对象，研究了考虑重力的静柔度半解析建模方法，并通过仿真和试验验证了模型的有效性．

1 系统描述与位置逆解分析

图1和图2分别给出了3-PRS并联机构的CAD模型示意和结构示意，该机构由静平台、动平台(包括加工单元)和3条结构相同的PRS支链组成，其中P 表示主动移动副(包括滑鞍、丝杠螺母、导轨滑块和前后支撑轴承)，R表示转动副，S表示球面副．为了后续建模的方便，将球面副、支腿部件、转动副和移动副分别以字母S、L、R和PC表示．

图1　3-PRS并联机构CAD模型示意Fig.1 CAD model of 3-PRS parallel mechanism

图2　3-PRS并联机构结构示意Fig.2 Schematic diagram of 3-PRS parallel mechanism

如图2所示，点Ai和Pi(i＝1，2，3)分别为第i 条RS支链球副和转动副中心，点Bi为移动副轴线与静平台交点．不失一般性，假定静、动平台分别为等腰三角形和并分别以其外接圆圆心O和O′为坐标原点，建立静、动平台参考坐标系其中轴线x和u′分别与和平行，轴线z和w′分别与和所在平面垂直，轴线y和v′则满足右手定则．同时，以刀具末端点C为原点，建立参考坐标系其坐标轴u、 v、w与系各坐标轴u′、v′、w′分别平行．为便于定义各部件柔度系数，在支链i上建立参考坐标系(见图3)，其中系以点Bi为原点，坐标轴z1,i与坐标轴z方向相同，坐标轴x1,i与R副轴线重合，方向如图3所示；系和系同以点Pi为原点，坐标轴x2,i和x3,i与坐标轴x1,i方向相同，坐标轴z2,i与坐标轴z方向相同，坐标轴与方向相同；坐标系5，6)以点Ai为原点和x6,i(x5,i)分别与S副的3个正交轴线重合，方向如图3所示．

图3　支链i各连体坐标系示意Fig.3 Body fixed frame of the ith limb-body assembly

式中：bi和ai分别为点Bi与Ai在系中度量的位置矢量；ai0为点Ai在系中度量的位置矢量；b与a分别为与的外接圆半径；为坐标轴z3,i的单位方向矢量；qi为第i个驱动关节变量；s1,i为坐标轴z2,i的单位方向矢量，为坐标轴w′的单位方向矢量为坐标轴x与之间夹角(见图2)，且注意到和分别与和始终保持垂直，故β决定了3-PR S机构的支链布局形式．

由于R副限制了支链沿R副轴线方向的平动，因此可以构造约束方程为

式中s2,i为坐标轴x2,i的单位方向矢量．

以动平台进动角ψ、章动角θ和点C沿z轴移动为广义坐标，由式(3)可得点C沿x、y轴移动和绕z轴转动表征的牵连运动方程为

2 静柔度建模

考虑到动平台和静平台的刚性远高于其他部件，故将二者视为刚体，建立计及系统其他部件弹性和所有运动部件重力的半解析静柔度模型．

2.1 力分析

考察由动平台和球铰链与之相连部分构成组件的受力自由体(见图4)，关于点C列写静力和静力矩平衡方程可得

注意到式(6)包含6个方程共9个未知数，无法解出内力，因此，需进一步考察支链i的受力自由体(见图5)，并对点Pi取矩，得

将式(8)代入式(6)，并写成矩阵格式，有

图4　动平台受力自由体示意Fig.4 Free-body diagram of the platform

图5　支链i受力自由体示意Fig.5 Free-body diagram of the ith limb-body

式中：$w为作用在点C的等效外力旋量，包括外载荷项$w,C、动平台重力项及支腿部件重力项J为广义雅可比矩阵[18]；分块阵Ja和Jc分别为驱动和约束雅可比矩阵和分别为支链作用在动平台上的单位驱动力和单位约束力旋量；ρwa,i和ρwc,i分别为相应的驱动力旋量和约束力旋量式(9)的物理意义可解释为：系统达到静平衡时，等效外力旋量应与支链作用在动平台上的所有驱动力旋量和约束力旋量相等．

2.2 变形分析

现构造动平台关于点C的微小变形矢量与因各部件弹性引起的点Ai线弹性变形间的映射关系．借助一阶摄动理论，由式(2)可得

式中：$t为动平台关于点C的微小位移(弹性变形)旋量；ρt′a,i与ρt′c,i分别为由点Ai处的内力ρwa,i与ρwc,i引起的弹性变形；ρt′a,i、ρt′c,i分别为由支腿部件本身分布重力引起的沿x3,i、z3,i轴的弹性变形．

2.3 静柔度模型

将式(9)、式(12)代入式(11)，即可得到考虑重力场的3-PRS机构静柔度模型为

式中$t,G,1和$t,G,2分别为等效集中重力和分布重力引起的末端静变形．

2为驱动系统的柔度和分别为滑鞍、支撑轴承、螺母和丝杠沿z1轴的线柔度系数，和cnut为常数为截面抗拉模量，ln为点Pi到丝杠螺母端面的距离(见图6).

图6　支链i零部件构成示意Fig.6 Components of the ith limb-body assembly

图7　重力作用下PRS支链受力自由体示意Fig.7 Free-body diagram of PRS limb-body in the gravitational field

3 算例

本节利用上述模型，分析3-PRS机构在重力场作用下，末端变形随机构支链布局不同的变化规律，从而为该类机构的设计提供理论依据．3-PRS的尺度参数和工作空间见表1，各部件在各自局部坐标系下的柔度系数等相关参数见表2～4，部件质量和重心位置等几何参数见表5．

表1　3-PRS机构尺度参数和工作空间Tab.1 Dimensions and workspace of 3-PRS

表2　球面副各部件线柔度系数Tab.2 Linear compliance coefficients of the components of S joint 10-3μm/N

表3　LR组件和PC组件的各向线柔度和角柔度系数Tab.3 Linear and angular compliance coefficients of the components of LR and PC

表4　驱动系统相关参数及支腿部件自身重力变形Tab.4 Parameters of driver system and the gravitational deformation of the components of limb-body

表5　动平台和支腿部件重心位置及质量Tab.5 Position of gravity and mass of the platform and limb-body components

首先借助有限元软件，验证本文提出静柔度半解析建模方法的正确性．如图8所示，在s =100 mm 处选取动平台典型位姿考察在重力作用下，点C沿/绕系各坐标轴的线/角变形．半解析和有限元模型得到的计算结果见表6．由表可见，有限元结果的绝对值略高于半解析结果的绝对值，但二者基本吻合，从而证明了静柔度半解析建模方法的正确性和有效性．

考虑重力引起的末端变形和末端静刚度“最恶劣”情况，选取z向行程s最大值，并在姿态空间范围内，以刀具末端点C沿/绕系各坐标轴的线/角最大变形|δx|max、|δy|max、|δz|max、|γx|max、|γy|max和|γz|max为重力引起末端变形的评价指标，以其沿系坐标轴u、v、w的线柔度最大值|cu|max、|cv|max、|cw|max，以及绕系坐标轴w的角柔度最大值|crw|max为末端静柔度的评价指标，分析各指标随β的变化规律．

图9示出了重力作用下，刀具末端点C在姿态空间内的最大变形|δx|max、|δy|max、|δz|max、|γx|max、|γy|max和|γz|max随β(0°～60°)的变化规律．由图9可知，重力载荷主要影响末端的线变形，其中重力场方向(y 向)为主要变形方向．|γx|max随β单调递增，而|δx|max、|δy|max、|δz|max、|γy|max和|γz|max随β的增加先减小后增加，其中|δx|max、|δy|max和|γz|max在β＝20.35°时取得最小值，|γy|max在β＝9.75°时取得最小值，|δz|max除在β＝2.15°时有小幅降低外，基本呈单调递增趋势．这表明当β＝20°时，机构在抵抗重力变形方面优于其他布局形式．此外，当β取值范围在[0°，30°]时，各向变形的数值波动较小，说明在内3-PRS机构具有较好的抵抗重力变形的能力．

图8　重力引起的末端各向变形云图Fig.8 Deformations of tool center point caused by gravity

表6　半解析法与有限元结果Tab.6 Results of semi-analytical method and FEA

图9　刀具末端点C的各向重力变形随β的变化规律Fig.9 Deformations of tool center point C in the gravitational field versus β

图10示出了将重力引起的末端变形按等效集中重力项$t,G,1和分布重力项$t,G,2划分后，刀具末端点C在姿态空间内的最大变形|δx|max、|δy|max、|δz|max、|γx|max、|γy|max和|γz|max随β(0°～60°)的变化规律．由图可知，的各向变形的贡献远小于$t,G,1．由此可知，尽管在重力补偿和精度标定中不能忽略$t,G,2的影响，但在整机静刚度设计与分析过程中，为减少运算时间可忽略分布重力项的影响．

图11示出了不考虑重力作用下，刀具末端点C在姿态空间内的最大柔度|cu|max、|cv|max、|cw|max和|crw|max随β的变化规律．由图可知，|cu|max、|cv|max和|cw|max随β的增加先减小后增加，当β＝30°时达到最小，且在数值上随β的变化波动较大；|crw|max随β的增加而减小并在β＝30°后变化逐渐趋于平缓．

图10　刀具末端点C的各向重力变形$t, G , 1和$t, G , 2随β 的变化规律Fig.10 Deformations of $t, G , 1and $t, G , 2of tool center point C in the gravitational field versus β

图11　刀具末端点C的各向柔度随β的变化规律Fig.11 Compliances of tool center point C versus β

综上所述，当β＝30°时，即支链布局为全对称布局时，3-RS机构具有较好的抵抗重力和外载荷的能力，因此在该类并联构型装备设计时，应尽量选取全对称的支链布置形式．

4 结论

(1)在力分析和变形分析的基础上，提出了一种计及运动部件重力及系统各部件弹性的3-RS机构静柔度半解析建模方法，为快速预估末端静柔度和重力作用下的末端静变形奠定了理论基础．

(2)借助有限元软件验证了所提出静柔度半解析建模方法的正确性，并通过数值仿真分析比较了支链布局形式对机构末端重力引起的变形及末端静柔度的影响规律．结果表明，全对称布局的3-RS并联机构具有较好的抵抗重力和外载荷的能力．

(3)分布重力项对末端变形的贡献远小于等效集中重力项，因此在整机静刚度设计与分析过程中，为节省运算时间可忽略分布重力项的影响．

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(责任编辑：金顺爱)

网络出版时间：2015-05-05. 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1127.N.20150505.1502.003.html.

Analysis on the Influence of Arrangement of Limbs on Compliance of a 3-RS Parallel Mechanism with Consideration of Gravity

Li Qi1,2，Liu Haitao1，Liu Jun1
(1. Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Tianjin Institute of Aerospace Mechanical and Electrical Equipment，Tianjin 300301，China)

Abstract：With consideration of gravity，the analysis on the influence of arrangement of limbs on the compliance of a 3-RS parallel mechanism was conducted．By formulating the relationship of the external wrench(deflection of the platform)in the operation space and the forces(compliances)in the joint space，the deformations induced by the cutting force/moment，the gravity of moving components，and the distributed gravity of all limbs were mapped into the deflection of the platform．The compliance model of the whole system was then achieved by means of the linear superposition．Subsequently，the expression of the compliance coefficients at the interfaces in terms of those of the subparts within a limb defined in their own local body-fixed frames was derived．The effectiveness of the proposed modeling approach was verified by the FEA software at a typical configuration，based on which the variations of the deformations caused by the gravity and the compliances of the platform with different arrangements of limbs were investigated．The results show that the fully symmetrical 3-RS parallel mechanism better resists the gravity and the externally applied wrench imposed upon the platform，which provides a guideline for the design of the mechanism.

Keywords：gravity field；compliance modeling；parallel mechanism

通讯作者：刘海涛，liuht@tju.edu.cn.

作者简介：李 祺（1984— ），男，博士研究生，liqi@tju.edu.cn.

基金项目：“高档数控机床与基础制造装备”科技重大专项资助项目(2014ZX04014-031).

收稿日期：2015-03-19；修回日期：2015-04-17.

DOI:10.11784/tdxbz201503052

中图分类号：TH133.33

文献标志码：A

文章编号：0493-2137(2016)02-0134-09