从n=k到n=k+1的“高能”递推——“数列不等式的证明”教学设计

◎胡媛媛

(安徽省合肥市第一中学，安徽 合肥 230601)

从n=k到n=k+1的“高能”递推
——“数列不等式的证明”教学设计

◎胡媛媛

(安徽省合肥市第一中学，安徽 合肥 230601)

数列是高中数学的主干内容之一，也是高考的重点考查对象.笔者通过对近几年各地高考试题的研究发现，有一类数列不等式的证明问题时有考查，而且占据高考最后一题的地位.但是，学生的答题情况却很不乐观，究其根本应该是学生不知该如何着手进行求证.事实上，数学归纳法是解决这类问题的有效手段，因此笔者根据学生的这一实际情况，在高考一轮复习“数学归纳法”之后，添加了一系列关于“数列不等式的证明”的复习专题课，现择取其中第一课时的教学设计如下，欢迎同仁批评指正.

数列；不等式；数学归纳法

一、教学定位及难点

本堂专题课主要针对已知数列递推公式，证明数列单调性及有界性的题型，向学生引入数学归纳法来解决此类数列不等式的证明问题，笔者希望学生可以通过学习进一步体会数列递推公式在数学归纳法的归纳递推中的妙用，而其教学难点是归纳递推中函数单调性的应用.

二、教学过程及设计意图

思考一会儿后请学生谈一谈解题思路.

生1：本题可以通过先求数列{an}的通项公式，就是对递推公式两边取对数，再构造等比数列求出通项公式，然后再对判断通项取值范围的问题进行证明.

师：很好，用数列的递推公式求通项公式一直是我们高考的重难点，生1对这一内容掌握得相当好.不过，有没有同学有其他思路？

生2：这是一道“对一切正整数n都成立”的命题，是不是可以用数学归纳法来解决？

师：我们可以试一试.

证明 ①n=1时，a1=1∈[0,1]，不等式显然成立；

②假设n=k(k≥1)时，0≤ak≤1，

那么n=k+1时，∵f(x)在区间[0,1]上单增，

∴0≤ak+1≤1，即n=k+1时不等式也成立.

由①②可知，0≤an≤1对一切正整数n都成立.

设计意图 本题旨在让学生通过比较，发现直接用数学归纳法证明的优势.

变式1 (改编自2008年安徽卷理21)

设函数f(x)=cx3+1-c，其中c∈[0,1]，数列{an}满足a1=0，an+1=f(an)(n∈N*)，求证：0≤an≤1对一切正整数n都成立.

教师适当引导，学生完成证明过程.

证明 ①n=1时，a1=0∈[0,1]，不等式显然成立；

②假设n=k(k≥1)时，0≤ak≤1，

那么n=k+1时，∵f′(x)=3cx2≥0，

∴f(x)在区间[0,1]上单增，

∴0≤1-c=f(0)≤f(ak)≤f(1)=1，

∴0≤ak+1≤1，即n=k+1时不等式也成立.

由①②可知，0≤an≤1对一切正整数n都成立.

设计意图 让学生学会运用数学归纳法证明与通项取值范围有关的数列不等式，并体会函数单调性及有界性在归纳递推证明中的作用.

变式2 (改编自2008年全国卷1理22)

(1)求证：函数f(x)在区间(0,1)上是增函数；

(2)求证：0

师：若没有(1)，就不容易证(2)，题(1)为证明题(2)提供了思路.此例中除了求证数列通项的范围(即数列有界性)外，还添加了数列单调性的证明，我们也可以用数学归纳法证明吗？让我们一起试一试.

证明 (1)f′(x)=1-(lnx+1)=-lnx.

∵00,

∴f(x)在区间(0,1)上单增.

(2)用数学归纳法证明：0

即0

②假设n=k(k≥1)时，0

那么n=k+1时，∵f(x)在区间(0,1)上单增，

∴f(ak)

∴0

即n=k+1时不等式也成立.

由①②可知，0

说明 此题归纳递推的证明中，虽然f(0)没有意义，但ak+1>0是归纳假设中已经有的，所以可以直接用.

设计意图 通过给出首项及题目本身隐含条件an>0，降低题目难度，让学生把精力着重放在体会函数单调性及有界性在归纳递推证明中的作用.

师：通过这三个题目，同学们能不能谈一谈有什么收获？

(学生总结，教师完善补充)

收获 数学归纳法的第二步是从n=k到n=k+1的递推证明，而数列的递推公式也是从n=k到n=k+1的一种递推关系，所以我们可以利用数列递推公式中蕴含的an+1关于an的函数关系来完成数学归纳法中从n=k到n=k+1的递推证明.

课堂小结 1.数学归纳法：证明一个与正整数n有关的命题：

(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)归纳递推：假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.

由(1)(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数都成立.

2.已知数列递推公式，可运用数学归纳法证明数列通项的范围(有界性)及数列的单调性.

三、教学体会

数列不等式的证明，因其方法的灵活性与综合性强成为高中数学教学难点，同时它考查了学生整体的数学素质和能力，又成为近几年高考的热点，因此有必要对数列不等式进行进一步的研究.

高三数学复习时间紧，任务重，可我们却仍旧容易陷入“题海战术”的误区，笔者认为：

1.我们的复习课在理清有关基础知识、基本方法的基础上，要使它们结成块，组成网，进而构建研究相关对象的思路和方法.本节课所介绍的方法就是利用数列递推公式中蕴含的an+1关于an的函数关系来完成数学归纳法中从n=k到n=k+1的递推证明.

2.针对高三繁重的复习任务，我们更应该给学生减压，课堂上在精选例题的基础上，进行变式训练，举一反三，触类旁通.

[1]王宇丹.几种类型的不等式证明[J].理科考试研究，2014(23)：3.

[2]龚勤.数列不等式的证明方法[J].中学数学教学参考，2015(21)：74-75.