逆向思维理解极限的定义

姜文琳 李亮亮

摘 要：学生对极限的理解深度对高等数学中微积分的学习有着极其重要的影响，本文主要利用逆向思维的方法阐述如何让学生更深层次理解极限的定义。

关键词：数列极限；函数极限；逆向思维

极限是微积分最主要的思维方式，是微积分发展的基础，因此对极限的掌握是不可忽视的，但对于微积分初学者来说，这一基础的思维理论太过抽象，但是学生对该定义的理解直接影响到后面函数的连续、导数等定义的学习，进一步可以说，它是微积分学习的起点。而且极限的定义在学生学习上和教师教学上都是一个难点。所以，这个问题应该是所有高等数学教师比较关注的问题。逆向思维是与顺向思维相对立的概念，它在高等数学的教学与应用中都占据着很重要的作用，若能合理运用逆向思维，不仅能开发学生的思维能力同时也能开拓学生的思维空间。本文主要在建立极限定义的基础上，进一步帮助学生利用逆向思维更深层次来理解极限定义的内涵。

一、逆向思维理解数列极限的定义

1.数列极限的数学表达。定义1：设数列，若存在一个常数，对任意给定的正数（不论它多小），总存在正整数N，使得当时，恒有成立，则称是数列的极限，或者称数列收敛于，记为。

注：定义1是我们熟知的语言，简化形式：，正整数，当时，有.它是由四个部分组成的一个定义，现在也有一些教研论文讨论过极限定义的理解和教学方法，但大多数是在定义上顺向解释它的含义，下面将按照逆向思维的模式来更深一步解释极限的定义，让学生更深层次的理解极限的思维，并掌握這一概念。

2.逆向理解数列极限。下面主要从定义想要揭示的含义的角度，反向来解释定义中四个部分的严谨性，解释为什么需要这四个部分。

第一步（不等式存在的意义）：根据定义，是数列的极限，也就是说，数列里面的项应该随着n的增大越来越接近于这个极限值，那么接近的程度该怎么用算术的语言来说明，这就想到了中学所学的差的绝对值，也就是数列的项与极限值的距离：（两个数的差）。那怎么去刻画这个越来越接近的思想，距离越来越小，这个小的程度就用到了不等式来表达，我们就有了的存在，这里说任意的正数，其实是说任意小的，也就说明了项与极限值的距离可以任意小，代表了小的程度，很接近的意思，代表了极限的思维。

第二步（，存在的意义）：但是，每次取定一个，不可能对于数列的每一项都能与极限值接近到这样的程度，比如一个数列的前几项总是无法建立与极限值的关系。所以有了，这就像是一个门槛，过了这个门槛，我们就能够保证这之后的每一项都可以达到这么接近的程度。至于之前的项，那就无所谓了，只有有限项而已（是有限的正整数）。所以有了的存在，考虑的是大于之后的项。也就是，每次取定一个更小的，也就是说误差变得越小，前面就会有越来越多的项不能达到这个接近程度而被踢出去，也就是说会越来越大，但不论怎么说，不符合要求的项总是有限的，而后面有无限项达到了接近的要求，也就是满足那个不等式。体现了后面极限趋势的一种思想。

二、逆向思维理解函数极限的定义

在这里主要描述自变量趋于有限值时函数的极限（简化形式）：

，，当时，有.下面也利用逆向思维的方法进一步理解函数极限的定义。

第一步（不等式存在的意义）：根据定义是函数的极限，也就是说，函数值应该随着的变化（如何变化在第二步中表达）接近于这个极限值，那么接近的程度该怎么用算术的语言来说也就是函数与极限值的距离：.那么距离接近的程度就用到了不等式来表达，我们就有了正数的存在，任意小的，代表了极限的思维。

第二步（存在的意义）：每次取定一个，不可能对于函数的每个值都能与极限值接近到这样的程度，可能只有非常接近的点才能满足要求，至于远离的点我们就不考虑了。所以有了的存在，考虑的是靠近的点，极限的定义没有要求在有定义，所以只需要，每次取定一个更小的，也就是说误差变得越小，里面就会有越来越多的项不能达到接近程度而被踢出去，也就是说会越来越小，的取值受的影响。

对于初学者来说，虽然极限的定义是新的，但是用来刻画它的绝对值不等式却是我们所熟知的，理解起来相对来说也比较简单，极限定义的语言中关键就是对两个不等式的应用，尤其是其中的绝对值不等式的表示与变形。同时，利用同样的思维模式可以去理解其它类型的函数的极限的定义，比如函数单侧极限的定义，自变量趋于无穷大时函数极限的定义，这里不再详细的阐述，读者可以按照上面两种类型的定义去理解。

三、思考

极限的定义逻辑结构比较复杂，其中蕴含了有限到无限的状态，从近似到精确，由量变到质变的深刻的辩证思想，它的思想很难理解。正因为极限定义不仅重要而且困难，所以至今仍有许多的数学教育工作者在关注和研究这个问题.本文结合实际教学实践，运用逆向思维帮助初学者能够更深一步理解极限的定义，以达到降低学生学习的难度。

参考文献：

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[2]高兴佑，向长福.如何破解极限定义教学难题[J].数学教育学报，2011，20（5）：96-99.

[3]王书臣，王立冬，张友，周文书.数列极限定义教学的认识与实践[J].数学教育学报，2012，21（6）：85-87.

[4]杨传翔.如何理解极限的定[J].中国科教创新导刊，2012（2）：102-103.

[5]田苗青，郜欣春.如何让学生理解极限的定义[J].高校理科研究，2010，6：100.

（作者单位：重庆三峡学院）