泰勒公式易错题分析研究

【摘要】泰勒公式是微积分学中的一个重点和难点，大部分学员在应用泰勒公式时经常出错.本文分析了学员在应用泰勒公式求极限时及证明与中值有关的命题时常出现的错误.文中就每种错误给出了相应的例题和错误解法，并对错解进行了分析，最后给出了正确解法.

【关键词】泰勒公式；错误；分析

泰勒（Taylor）中值定理是微积分学中的一个重要定理，是微分学的理论基础.当然，泰勒公式也是学员公认的微积分学中最难学的知识点.其实，只要学员理解了泰勒公式的思想，泰勒公式并不是那么可怕.泰勒公式的基本思想是用简单函数（多项式函数）来逼近复杂函数，通过函数f（x）在已知点处的信息（f（x0）以及f（x）的各阶导数在点x0处的值）来表达它在未知点的信息.泰勒公式在微积分中的重要应用有：近似计算、求某些类型的极限、证明不等式等等.但是学员在应用泰勒公式时经常出错，笔者结合教学实践，把学员在应用泰勒公式时经常出现的错误进行了归纳总结，分析了学员出错的原因，并给出了正确解法.

1应用泰勒公式求极限时常犯的错误

泰勒公式是求00型未定式极限的一种方法.因为求极限时不需要对余项的大小进行具体计算，而且仅涉及函数f（x）在点x0的去心邻域内的变化性态，所以只要用带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式就行了.但是，大部分学员往往不注意这个高阶无穷小，导致错误.

注1在应用泰勒公式求极限时，只需把未定式的分母或分子或两者同时应用带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式展开即可.需要注意的是所展开的多项式部分的最高次数要相同.另外，泰勒公式中的高阶无穷小这个余项作运算后千万是不能抵消的，原因很简单，高阶无穷小是个变量，一个量的高阶无穷小有很多，而且这些无穷小具体是谁不知道，所以是无法抵消掉的.

2.应用泰勒公式证明微分学中含有中值的命题时常犯的错误

注2在应用泰勒公式证明含有中值的命题时，需要对函数f（x）在一点x0处进行泰勒展开，这就需要恰当地选择x0.选择x0没有一般规律可循，但通常选用区间的端点、中间点、函数的极值点、导数为零的点或信息给的比较多的点（如函数在该的值或一阶导数的值已给出等）等特殊点作为x3.应用泰勒公式证明积分学中含有中值的命题时常犯的错误

以上就是学员们在应用泰勒公式时经常出现的错误，其实只要学员真正理解了泰勒公式的思想，上述错误是完全可以避免的.当然，教员也要正确看待和利用这些“错题”，要及时对这些“错题”进行探究、分析和讲评，因为这些都是非常宝贵的教学资源，如果教员能利用好这些资源，不但可以为学员创造新的学习机会，而且可以培养学员的问题意识，培养和提高学员发现问题的能力.

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