如何在教学中引导学生理解数学公式的本质

吴亚婷

【摘要】 数学公式掌握的好与否牵涉到中学生整个数学知识体系的构建和深化. 本文剖析初中生学习数学公式所存在的问题，并结合实际案例《平方差公式》，设计操作活动，提出四点有利于初中生理解数学公式本质的策略：1.让学生在动手操作中发现公式模型；2.让学生出题构造公式，深化公式理解；3.代数意义与几何解释双管齐下，多角度理解公式；4.提供公式变式，让学生在应用中理解公式.

【关键词】 数学公式；公式变形；公式构造；多角度

一、数学公式学习的重要性

（一）数学公式的概念

数学公式是人们在研究自然界物与物之间时发现的一些联系，并通过一定的方式表达出来的一种表达方法. 是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系，它确切的反映了事物内部和外部的关系，是我们从一种事物到达另一种事物的依据，使我们更好的理解事物的本质和内涵.

（二）数学公式学习的重要性

在数学学习中，数学公式是非常重要的，俗话说，千里之行始于足下，如果学生要在数学领域远行千里，那么数学公式就是“足下”，是远行的基础和出发点. 同时，数学公式掌握的好与坏牵涉到中学生整个数学知识体系的建构和深化. 数学知识环环紧扣，互相联系紧密，只有在深刻理解数学公式的基础上，学生才能将所学知识融会贯通，灵活应用.

二、初中生学习数学公式所存在的问题

（一）学生浅层记忆公式

初中生在学习数学公式的时候偏向于记忆公式，但是对公式的本质意义理解层次低. 如在记忆平方差公式（a + b）（a - b） = a2 -b2时，学生开口就直念a加b乘以a减b等于a的平方减b的平方，只是浅层次记忆公式的表达式，但是当公式换个字母或者换种形式，部分学生就不知如何处理了.

（二）在公式变式后无法辨认公式模型

公式的应用非常灵活，但是灵活的应用必须是建立在学生深刻理解公式本质特征的基础之上，如处理在平方差公式中产生的

符号变形（-a + b）（-a - b） = a2 - b2，

位置变形（-b + a）（a + b） = a2 - b2，

项数变形（a + b + c）（a + b - c） = （a + b）2 - c2，

指数变形（a2 + b2）（a2 - b2） = （a2）2 - （b2）2时，学生就容易一片混乱，无法在各种变形中辨认出平方差公式，因为学生并没有理解平方差公式“字母的可变、结构不变”这一本质特征.

三、在具体应用中无法抽象出公式模型

很多数学问题的解决需要学生分析问題条件，根据条件特征，去主动构造公式进行问题解决，但是很多学生没有办法在具体应用中抽象出公式的模型. 如进行10002 × 9998的简便运算，很多学生就直接死算，构造不出（10000 + 2） × （10000 - 2）. 主要原因是学生心中对公式就只有一个符号概念，没有现实中的意义解释.

四、以《平方差公式（1）》为例，引导学生理解数学的本质

（一）设计操作活动，让学生在动手操作中发现公式模型

如在新知引入中，我设置了一个动手操作活动

（1）现在有两个数，不知其大小，请你随意用两个字母来表示这两个数.

（2）请求这两个数的和与差的乘积

（3）请思考：两个数的和与这两个数的差的乘积等于什么？

这一活动没有要求具体用什么字母，随机抽取几名同学到黑板上根据指示进行操作，再抽取台下的学生回答，这个环节可以突破平方差公式“字母可变，结构不变”的本质特征，它是两数之和与两数之差的乘积，结果为两数的平方差. 学生自己动手操作，主动发现的公式模型，远比老师自上而下灌输的效果好.

（二）让学生出题构造公式，深化公式理解

在“我出题我骄傲”环节里，请补充一个因式，使下列式子可以运用平方差公式（2a + b）. 根据构建主义的学习观，学习不是知识由教师向学生的传递，而是学生建构自己的知识的过程. 学生不是被动的信息吸收者，而是意义的主动建构者，这种建构不可能由其他人代替. 学习是个体建构自己的知识的过程，这意味着学习是主动的，学生不是被动的刺激接受者，他要对外部信息做主动的选择和加工. 因此在这个环节的设计，给学生提供了一个主动构建的平台，学生可以实现知识的主动整合和构建，对公式的理解就会达到更深的层次.

（三）代数意义与几何解释双管齐下，多角度理解公式

教学设计中在代数推导之后，添加了一个几何解释环节，利用给出的图形对平方差公式进行验证.

教学中发现，学生常把代数知识与几何知识自动隔离，认为这是两个截然不同的两个知识模块，在理解代数公式的时候，认为就是符号的变换，不具有实际意义. 但实际上数学的很多公式都可以用图形进行解释和验证，并且学习和理解数形结合的思想方法有利于学生在数学的学习之路走得更远，特别是解析几何的学习.

此外，多角度理解代数公式的意义，有利于学生解决现实背景问题，如义卖活动前期，陈老师提出，把咱班边长为x米的正方形场地，一边增加5米，另一边减少5米，我们该答应吗？学习了平方差公式的几何意义后，学生解决这个问题就轻而易举.

（四）提供公式变式，让学生在应用中理解公式

（1）20002 - 1998 × 2002

（2）2000 × 1999 × 1997

（3）542 - 462 + 772 - 232

（4）502 - 492 + 482 - 472 + … + 22 - 12

（5）（3 - 1）（3 + 1）（32 + 1）（34 + 1）

（6）（2 + 1）（22 + 1）（24 + 1）（28 + 1）（提示 2 - 1 = 1）

在教学设计的最后一个环节看，我设计了一个速算奥秘揭晓环节，这个环节是对平方差公式的变形应用. 正用、逆用、变用是应用公式的三个层次，正用是理解公式后所达到的基础层次，逆用是掌握知识后的灵活应用，而变用则是学习公式后的创造性应用. 在这个环节设计中层层递进，给学生铺设脚手架，让学生在应用中深入理解公式，达到应用公式的最高层次.

【参考文献】

[1]向仕军.初中数学变式教学设计的实践研究[A].中国管理科学文献[C].2008年.

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[4]周芬.千里之行始于足下——浅谈初中数学公式的重要性[J].中学生数理化（高中版学研版），2011，（08）.