对称性在曲面积分计算中的应用

胡维付　彭正虎　赵大方

摘 要 本文通过举例简要说明对称性在曲面积分计算中的应用。在解题中适当使用， 能达到“事半功倍”的效果。

关键词 曲面积分 轮换对称性 奇对称 偶对称

中图分类号：GO172.2 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.05.022

Abstract This paper introduces several common methods of how to sue symmetry to simplify the calculation of integral process in Surface Integral， these applications are illustrated by typical examples.

Key words surface integral； rotation symmetry； odd symmetry； even symmetry

在计算曲面积分的运算过程中，通常是将曲面积分转化为重积分，再利用坐标变换来进行，有时候这一过程会很复杂。如果运用对称性，则可简化曲面积分的计算，本文将通过举例进行比较来说明对称性在曲面积分运算中的优势。

1第一类曲面积分中的对称性应用

定理1：设 （）在分片光滑的曲面上连续，若关于面对称，则

其中为在平面上方的部分；若关于平面（或平面）对称， （）关于（或）为奇函数或偶函数也有类似结论。

定理2：若积分曲面关于具有轮换对称性，则

（） = （） = （）

= [ （） + （） + （）]

定理3：设有光滑曲面： = （），（）。 （）为上的连续函数，则 （） = （（）） 。

例1：计算（ + + ），其中为球面 + + = 被平面 = （0<<）所截的顶部。

解：方法一（利用定理1）：

已知曲面方程为 = ，且曲面关于平面和平面对称，则： = = 0

定义域为圆域 = {（）∣ + ≤}，由 = ，则：（ + + ） = = · = （）

方法二（利用定理3）：

曲面的方程为 = ，定义域为圆域{（）∣ + ≤}，又由 = ，则：

（ + + ） = （ + + ）

再利用极坐标变换，，且在极坐标变换下，平面上有界闭域与平面上区域HU对应，则：

例2：计算曲面积分，其中是球面 + + = 。

解：方法一（利用定理2）：

积分曲面关于具有轮换性，所以： = = ，从而 = （ + + ） = = ·4 =

方法二（利用定理3）：

= （），定义域为圆域： + ≤，又由于 = ，关于平面对称，则：

= 2（）

= 2· =

= · =

2第二类曲面积分中的对称性应用

利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号。现以曲面积分（ + + ）为例来讨论。当曲面指定侧上动点的法线与轴正向成锐角（钝角）时，面积元素在面上的投影为正（负）。一般地，有如下定理：

定理4：设分片光滑的有向曲面关于平面对称，在平面上方部分记为（方程为 = （），（）），下方部分记为，又设 （）在上连续，则：

若关于平面（或平面）对称， （）关于（或）为奇函数或偶函数有类似的结论。

定理5：若积分曲面关于具有轮换对称性，则：

（） = （） = （）

= [ （）+ （）+ （）]

定理6：设是定义在光滑曲面： = （），（）上的连续函数，则的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有： （） = （（））

定理7：设、、是定义在光滑曲面： = （），（），上的连续函数，以的上侧为正侧，

（） + （） +（）

= [（（））（）+ （（））（）+ （（））]

例3：计算曲面积分，其中是球面 + + = 1在≥0，≥0部分并取球面外侧。

解：方法一（利用定理4）：

曲面在第一、五卦限部分的方程分别为

： = ，： = 。

因为曲面关于平面对称，定义域为{（）∣ + ≤1， ≥0， ≥0}，由定理4，则：

= 2 = 2

= 2 =

方法二（利用定理6）：

曲面在第一、五卦限部分的方程分别为

： = ，： =

它们在平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分，即{（）∣ + ≤1， ≥0， ≥0}，依题意，积分是沿的上侧和的下侧进行，所以：

= +

= （）

= 2

= 2 =

例4：计算曲面积分 + + ，其中是球面 + + = ，并取外侧为正向。

解：方法一（利用定理5）：

球面 + + = 关于具有轮换对称性，所以：

= =

计算应分别考虑前半球面及后半球面上的曲面积分，的方程为 = ，它在平面上的投影域为为圆域{（）∣ + ≤}，用表示前半球面的外侧，的方程为 = ，它在平面上的投影域为为圆域{（）∣ + ≤}，用表示后半球面的外侧，则由第二型曲面积分的性质，则有：

= + = = 0

则： + + = 3 = 0

方法二（利用定理7）：

由题意可知： + + = （（） + （） + ） = （ + + ）。

再利用极坐标变换，

且在极坐标变换下，平面上有界闭域与平面上区域HU对应，则：

而： + + = （（） + （） + ） =

所以： + + = + + + + + = 0

参考文献

[1] 陈文灯，袁一圃，俞元洪.高等数学复习指导[M].北京：北京理工大学出版社，1992.

[2] 吉林大学数学系.数学分析（第一版）[M].北京：人民教育出版社，1979.

[3] 华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010：293-304.

[4] 冀利英.对称性在曲面积分计算中的几个结论[J].数学理论与应用，2009.