案例式贝叶斯公式教学研究

滕兴虎 朱永婷 李静 徐为

【摘要】以案例教学法作为贝叶斯公式教学的主要手段，选取源自史实的核潜艇搜索问题作为案例，切入教学，激发学生学习兴趣，在实际情景引导学生发现问题、分析问题、解决问题.实践表明，案例式教学有效地加深了学生对贝叶斯的理解和应用，并对促进教学效果提高及课程建设都有重要意义.

【关键词】贝叶斯公式；全概率公式；案例式教学

1.引言

在“概率论与数理统计”课程中，贝叶斯公式是重要的公式之一.在医学、信息传递、生产、侦破案件、个人信用、诉讼与网络安全等方面贝叶斯公式有着非常广泛的应用，具有广泛的研究前景.公式涉及条件概率公式、全概率公式与乘法公式等重要公式，复杂难记、与全概率公式难于区分，是概率论课程教学中的一个重点，同时也是一个难点.学生短时间内难以理解，为使学生掌握公式并能很好的运用公式解决问题，不少教师对其进行了教学方法上探讨.案例式教学是一种有效的教学方法，它以案例为基础，在特定的情境中，引导学生积极分析问题与解决问题，并促使学生充分理解问题的复杂性与多样性.本文从基于史实的案例出发，逐步深入，由案例导入贝叶斯公式，并利用贝叶斯公式对相关模型和应用进行分析求解.

2.案例导入与分析

1968年5月22日，美国 “天蝎号”核潜艇失事沉没.为了寻找天蝎号的位置，美海军基于“贝叶斯公式”制定了搜索方案，最终找到了“天蝎号”核潜艇.

基于这一史实，简化问题，考虑如下案例

案例 设“天蝎号”核潜艇沉没在甲、乙、丙3个区域之一，潜艇技术部门判断其概率分别为12，13，16；搜救专家搜索这些地域，若有核潜艇，发现的概率分别为12，23，14.

如果现搜索甲区域后未找到核潜艇，“天蝎号”沉没于甲区域的概率是多少？

设事件A表示搜索甲未找到核潜艇，事件B1，B2，B3分别表示核潜艇沉没在甲、乙、丙三个区域.因此由案例中的两组数据可知：

将数据代入即可得P（B1|A）=13.类似可求搜索甲区域后未找到核潜艇时，“天蝎号”沉没于乙、丙区域的概率分别是P（B2|A）=49，P（B3|A）=29.

由讨论可知，当一个事件已经发生时，可以利用条件概率公式、乘法公式和全概率公式，去求导致这一事件发生的各种诱因的可能性大小.一般化（1）式便得到贝叶斯公式.

3.贝叶斯公式引入与应用

（2）式称为贝叶斯公式或逆概公式.

由案例的讨论可知，Bi（i=1，2，…，n）是导致事件A发生所有的各种不同诱因，P（Bi）（i=1，2，…，n）是在没有进一步信息（事件A没有发生）的情况下各事件Bi（i=1，2，…，n）发生的概率，即在试验以前（事件A发生前）就已经知道的概率，所以称它们为先验（先于试验）概率.P（Bi|A）（i=1，2，…，n）反映的是在试验以后，即从事件A的发生获得新的信息或者经验后，人们对各事件Bi（i=1，2，…，n）发生概率的再认识，通常称为后验概率.人们可以利用后验概率的大小，作出新的判断，推测在新的信息条件下最有可能是哪一个诱因导致事件A发生的，此即为贝叶斯推断.

在案例中，如果搜索甲区域后未找到核潜艇的条件下，核潜艇沉没于甲、乙、丙三个区域的概率分别为13，49，29，下一次搜索应该在乙区域进行.如果搜索乙区域后仍未找到核潜艇，利用贝叶斯公式，类似于案例的讨论，可求得核潜艇沉没于甲、乙、丙三个区域的概率分别为919，419，619.下一次应是返回甲区域进行搜索，而不是在丙区域.利用贝叶斯公式讨论如下的可靠性问题.

4.结语

基于史实引入案例，激发学生的参与讨论学习的兴趣.通过案例分析自然导入贝叶斯公式，结合案例与贝叶斯公式，揭示了贝叶斯公式本身蕴含了深刻的思想，帮助学生深刻理解了先验概率与后验概率的相互转化.通过应用，加深了学生对贝叶斯公式的理解与认识，使其掌握住公式的实质.“由因索果”的全概率公式，是贝叶斯公式的一部分；在已知一事件发生的情况下，需要对导致该事件发生所有的各种不同诱因进行再认识时，则用“由果索因”用贝叶斯公式.

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