浅谈数形结合在初中数学解题中的应用

何胜凤

【摘要】数学作为研究空间形式和数量关系的一门学科，数与形是数学教学的双基。通过数形结合思想，不仅可将抽象的数学问题形象化，还可以大大简化解题步骤。对此，文章从数形结合概念入手，就数形结合在集合问题和不等式问题中的应用进行探讨，从而为数学教学提供参考。

【关键词】数形结合 解题 不等式

数形结合作为数学学科中的基本思想，对培养学生思维能力具有重要作用。通过数形结合思想，可让学生在教学活动中更加直观的理解不同的数学知识点，从而大大提高教学效率，增强学生解决问题的能力。

一、数形结合的概念

数形结合是一种直观的教学方式，它将原本生硬的相互学的理论知识赋予了更多图形化的方式，并通过板书、多媒体等方式呈现给学生。研究认为，在初中数学中利用数形结合思想，可将原本枯燥和抽象的数学语言、数量关系等转换为更加直观的的结合图形，从而回归到数学的本质——“数”与“形”，最终让学生更加简单、直观的理解和掌握数学知识点。

二、数形结合在初中数学教学中的作用

数形结合思想被广泛用在数学教学的各个阶段，随着数形结合思想在数学教学中的融入，教师可更加直观的将数学问题呈现给学生，而学生也可以清晰的了解问题，并大大激发学生对问题的兴趣和爱好。通过数形结合方法，不仅可以锻炼学生的空间几何思维，还可提高数学分析能力。可以说，数形结合方法在培养学生能力方面发挥着独特的作用，并成为当前初中数学的一种重要教学方式。具体来看，数形结合方法的作用主要表现在以下几个方面：第一，结合数形结合方法，有助于提升学生求解与函数相关的代数题和几何题；第二，通过数形结合方法，可通过直观的图像和模型帮助学生理解数学问题；第三，通过函数途径或者是几何图形可帮助学生更好的进行数学方程式的求解；数形结合有助于求解与几何量相关的函数不等式问题。

三、数形结合在解题中的实际应用

3.1集合问题

在集合的运算中，通常采用数轴、韦恩图来表示。通过图形直观的将不同集合之间的关系反映出来，从而让学生对问题一目了然，并大大简化了问题，让集合运算变得快捷。

【例题1】某学校先后举办了数学、历史、音乐等三场知识讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史音乐、讲座，还有6人听了全部讲座，求听讲座的人数。

分析：对于该问题的求解，如果单纯依靠学生的想象是非常难求解的。因此，在求解中，利用韦恩图将上述的集合关系表示出来，从而我们可以得到不同集合之间的数量关系。

在图1中，听数学和历史讲座的人数、听音乐和历史讲座的人数、听数学和音乐讲座的人数，以及三者都听的人数即可直观的反应出来。由于75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，那么三组共有75+68+61人。同时根据容斥原理可知，即可求解得到听讲座总人数。

解：68+75+61-（17+12+9）+6=204-38+6=172.

所以，听讲座的人数为：172人。

总结：在该问题中，通过数形结合思想，其本质就是将比较抽闲的集合问题直接转换为比较生动的图形化语言，从而让学生更加清晰的了解不同集合的交集、并集等。这种解题方法就是数形结合思想的体现。在解决这类问题中，让学生充分掌握好韦恩图原理，并灵活运用，对提高学生的解决技巧和思维能力具有重要作用。

3.2不等式问题

在初中数学中，不等式问题是一个重要的组成部分。而不等式的计算与等式的计算之间存在的唯一不同就是不等式通常是一个集合，而不是一个常数。在求解中，要找到不等式的解，通常需要结合数轴。因此，在对不等式相关知识进行教学过程中，我通常将数形结合思想渗透到课堂中，这样不仅可以提高课堂效率，也有利于学生具备不等式的解题能力。

【例题2】求解不等式

分析：在对干不等式进行求解的过程中，我们通常都是先分别对不同的不等式进行求解，然后通过数轴画出不等式的解的范围；然后再求解不同不等式的解的集合。

解：对不等式①进行求解，从而得到①式

对②式进行求解，得到

将不等式①、②的解的结合通过数轴画出，从而可以得到图2.

通过图2可以得出：

不等式①、②的共同解为

总结：根据数轴可直观的将不同不等式的解的范围展现出来，从而通过数轴即可了解不等式的解的关系。但是，在课堂教学中，将数形结合思想应用到数轴中，其最为关键的问题是要掌握 和 之间的方向问题，这样才能更加准确的得出结果。可见他，通过数形结合方法，可大大展提高学生的解题能力，也让学生对问题更加直观。

结束语

总之，数形结合作为数学的一个重要特点，对培养和提高学生的数学思维具有重要作用。通过数形结合思想的应用，也将原来比较枯燥、抽象的数学问题转换为相应的图形，从而大大增强了数学课堂的趣味性。同时，我们也要认识到数形结合思想的培养不是几节课即可培养，而需要长期潜移默化的运用，才能更好的提升学生的数学思维。

【参考文献】

[1]杜远堂.数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].语数外学习：初中版下旬，2014（07）.

[2]沈凌云.初中数学教学中数形结合思想的培养[J].数学教学通讯，2014（31）.