浅谈初中数学三个“非负数”模型及其应用

黄建华

【摘要】在数学领域，非负数是随着初一代数中负数引入而相应出现的一个概念性知识。所谓非负数，指零和一切正数（用字母a表示，即a≥0），它是建立在数轴、绝对值、二次根式和方程等数学范畴中的知识，在理论研究和实际运用中不仅颇起作用而且具有十分重要的意义。常见的非负数着重包括实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根等三种模型。理论和实践同时表明，非负数知识的应用范围十分广泛，在数学教学中，凡是渗透到负数的地盘，就会触摸到非负数的神经。数学老师应当高度重视，而且必须要求学生们认真应对之，否则对未来的教与学必将带来很大障碍。本文试对此作出简要性阐述。

【关键词】初中数学 知识教学应用 非负数模型 探讨与思考

长期以来，非负数和方程是初中数学教学中不可或缺的重要组成部分，而且在历届中考命题中既属重点方向又是难点内容。从个体思维发展规律来分析，初中生尤其是初一学生，正处于形象性思维向抽象性思维逐步过渡的阶段，而诸如非负数之类的抽象性数学知识之于他们，可谓难以绕道的“拦路虎”和“火焰山”。笔者从教学实践中总结认为，在初中数学教学过程中，无论对于日常生活的教与学来说，还是针对以后的中考而言，非负数知识都应当且必须引起师生双方的高度重视与认真应对。那么，如何才能积极有效地开展非负数知识的教学活动呢？本文试从以下几个方面，对此作出一些抛砖引玉之论。

一、初中数学非负数知识的形式及其性质

我们该怎样下这个数学定义呢？顾名思义，“非负数”即为不是负数的实数，就是包括零和正实数（如3.4、9/10、π……）两大类别。在初中数学中，常见的“非负数”形式主要有以下三种类型：（1）实数的偶次幂一定为“非负数”：如a2≥0，一般的a^2n≥0（n为整数）。（2）实数的绝对值一定为“非负数”：如|a|≥0（当a>0时，绝对值即为a；当a=0时，绝对值即为0；而当a<0时，绝对值则为-a）。（3）算术根一定为“非负数”：如√a≥0，一般的x√a≥0。

非负数的性质在解题中既非常重要也颇为实用，它不仅有类型性质——实数的偶次幂是非负数，实数的绝对值是非负数，一个正实数的算式根是非负数，还包含：（1）任何一个非负数乘以-1，都会得到一个非正数；（2）非负数大于或等于0；（3）非负数中含有理数和无理数；（4）非负数的和或积仍是非负数；（5）非负数的和为零，则每个非负数一定等于零；（6）非负数的积为零，则至少有一个非负数为零；（7）非负数的绝对值等于本身；（8）最小的非负数是0，没有最大的非负数；（9）非负数的商（除数不能为0）仍然是一个非负数。

此外，非负数还有其几何意义——在数轴上，原点和原点右边的点所表示的数以及数轴上表示数的点到原点的距离都是“非负数”。

二、关于对“非负数”知识的见解与应用

如前文所述，三个非负数知识的性质比较丰富，应用范围也很广，我们只有理解透彻才能轻松灵活地应用。有鉴于此，本文结合自己的教学实践与点滴思考，试对其进行粗略式解析，以供同行商榷与参考。

1、在一元二次方程中的实际应用。众所周知，在初中数学教学过程中，关于对“一元二次方程”的学习和应用，既是初中数学知识的重要基础和必要前提，又是学习其他更多数学知识的良好支撑。而我们把它一般地表现为ax2+bx+c=0（其中a≠0）形式，那么对于它的有实数根的重要条件和必要条件就是（△b2-4ac≥0为非负数）。

2、关于对非负数概念的实际应用。以零和正数为表现类别的“非负数”知识，它是在初中教材的数轴、绝对值、二次根式和方程等概念的数学中建立起来的。对此，我们完全可以通过如下三种途径来加以应用与理解：一是通过对“实数的绝对值是非负数”概念性知识的理解。比如，“在一根标有a、b、c字样的数轴上，其中a定点在0左侧的3厘米位置上，而b和c分别定点在0右侧的3厘米与1厘米位置上（可画图表示），且 ，那么 。”借助于对这类题目的实践教学，能够帮助学生增强对它的理解、把握和记忆。二是通过对“非负数的算术平方根仍是非负数”概念性知识的理解。我们可以借助于对“化简 ”来予以渗透消化和列举说明。三是通过对“被开方数必须是非负数”概念性知识的理解。对此，我们可以借助于对“函数 中自变量x的取值范围是多少？”的数学题目，来解决非负数中的此类概念性知识。值得一提的是，数学概念知识比较精炼和缜密，在实际教学中，我们要首先通过引导学生来认真阅读解析，然后再通过对具有典型性的实例题目进行消化和反刍，只有如此相得益彰地渗透与通融，才能赢得事半功倍的效果。

3、关于对非负数性质的实际应用。从上文所阐述的众多非负数性质中，可以衍生出如下一条重要性质，具体可表述为——“如果有限个非负数的和为零，那么其中的每个加数都必须为零，就是说：x1≥0、x2≥0……xn≥0，且x1 +x2……xn=0，那么x1=x2=……xn=0。”实践证明，这一条非负数性质具有非常广泛的应用范围，是我们在教与学实践中必须予以特别关注的内容。本文就以如何对它进行实际应用来说明问题。首先，我们可以对它进行直接地加以应用。比如“已知方程 ，求x和y的值”，或者在“已知方程 ”中就是如此。其次，可以先把问题转化成两个或者有限个非负数的和，然后再来应用这一条性质。如对于“已知方程 ，求x、y、z的值”，我们常是如此。

综上所述，以上是笔者在初中数学教学中的简要实践与应用体会。“运用之妙，存乎一心。”本文抛出关于初中数学中三个“非负数”模型的教学应用，期望以此能够获得更多同行的商榷和探讨之言。