数列通项公式求法探究

李佳怡

摘 要：数列问题一直是高中数学学习的一个重难点，而数列的概念与思想方法是函数的基础。同时，数列在很多其他领域也有着广泛的应用。本文通过作者自身的经验与查询资料对数列问题中通项公式的求法进行了初步的归纳总结，为数学学习提供更加简单合理的参考与帮助。

关键词：数学；数列；通项公式；求解

高中数学的学习过程中，数列题目常常有着比较新颖的变化，有时候海域函数相结合成为一道令人“头疼”的复杂题目。但是，经过仔细的思考和细心的总结，数列问题的解法其实是有迹可循的。对于数列通项公式的求解，可以初步总结为下述的六个方法，并且应用这六种方法基本可以解决现阶段遇到的数列通项公式的求解问题。

一、归纳猜想法

归纳猜想的方法貌似简单，但却是一个非常重要的方法，是我们遇到一个数列问题时首先要考虑的方法。这种方法依赖于题目数列方便计算以及我们个人敏锐观察力和大胆的想象力。

如数列1，3，5，7，9···可以非常快速的看出其通项公式为an=2n-1。另一个数列如：1，3，7，15···可以通过观察其规律进行猜想知an=2n-1。

二、整体换元法

整体换元的方法主要是用一个设定的字母带换掉原式中一个整体，即形式相同的一部分。

如求（n+1）an+1=nan+3的通项公式。

本题初看之下似乎毫无头绪，但是如果做一定的换元：设bn=nan ，则上式可变为bn+1=bn+3，上述问题就变得十分简单，此时只需求出bn即可得到数列通项公式an。

三、三角代换法

类似于整体换元法，三角代换的方法是通过发现原式中某些形式与三角公式相吻合，进而将所求转化为三角公式的求解。通常这类问题本身就是由三角公式演化而来的。

初看此题可能无从下手，但是如果我们注意到三角函数的一个常见的性质，即cosθ=1-2sin2，所以有sin=。这时我们就能够发现a1=sinθ，a2=sin，a3=sin，…，其中θ=，则很容易就可得到原式中an=sin。

四、两式相减法

两式相减的方法是数列通项公式求解过程中非常好用但往往不容易想到的方法。两式相减，就是将题目给出的关系式分别写为关于n的式①和关于n+1的式②，然后将这两个式子相减，得到的新式子可以很直观的反映出一定的数量关系，从而使得原题的求解简化。

例：求数列a1+a2+…+an=n2的通项公式an。

①-②得an+1=2n+1，所以an=2n-1即得。

當然这是一个非常简单的例子，但我们仍能看到两式相减方法的应用，可以将相同项特别是常数项減掉，然后进行因式分解，将原式简化整理。特别的，若原式存在平方项，此时还可以活用平方差公式。

五、递推关系法

可以通过一个上述的简单例子看到，若an+1=2an+1，对其做一定的变形可得an+1+1=2（an+1），然后设bn=an+1，原式直接变为bn+1=2bn。只要通过一定形式的变化，可以很容易的将原式中的关系变为简单的递推关系，使得求解变得极为简单直接。

六、特征方程法

特征方程法是数列求解中一个比较特殊的方法，这类问题针对的是某些拥有现成结论的特殊问题。通过特征方程和特征根，对有些特定的问题我们可以直接给出答案。

特征方程可以分为两类，

（1）形如an+2=aan+1+ban形式的递推数列；

（2）形如an+1=形式的递推数列。

（1）对于an+2=aan+1+ban，它的特征方程为x2=ax+b；

特征方程的方法可总结为三步：

①根据特征方程求出特征根；

②若所求为不等根，则分别用an+1相减；若是等根，则用an+1相减再取倒数；

③化简整理，此时可形成等比或等差数列在进行计算。

七、总结

通过上述的归纳，我们可以看到数列通项公式的几种求法。通过总结归纳，可以更好的掌握解决问题的方法，获得对知识更好的理解。这不仅是我们解题中的良好习惯，也应当成为未来学习和研究的重要手段。