“积不出”函数的判定与积分

杨立敏 赵嵩卿

摘要：一般高等数学书对于“积不出”函数的处理都是只给出三、四个简单函数，没有证明。学生不知如何判别所遇到的积分是否是“积不出”函数以及如何处理这类函数的积分，常常会感到困惑。本文从Liouville第三、四定理出发证明了三类“积不出”函数。不仅给出了较多的“积不出”函数，也给出了判别“积不出”函数的常见方法。最后又介绍了处理“积不出”函数积分的两种方法。

关键词：不定积分；“积不出”函数；初等函数；Liouville定理

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）23-0178-02

初等函数在其定义区间内是连续的，连续函数是有原函数的，但初等函数的原函数不一定还是初等函数，初等函数的原函数若不是初等函数，它的不定积分是不能用教科书上提供的常用方法来求得的，这样的函数被称为“积不出”函数，这些不定积分都不能用初等函数来表示，但教科书上只是直接给出几个简单“积不出”函数，并且没有证明，也没有提到这些函数的原函数可以试用哪些办法求得和被表示成什么样子。容易让人产生如下问题：（1）面对构造那么简单的函数，更倾向于它们可以被轻松求得原函数。（2）误以为“积不出”函数很少见，就这么几个，许许多多的函数是可以用常见办法来积分的，碰到某些“积不出”函数时，不能判断它，而是花大力气去积分，浪费了时间和精力。（3）这种做法也容易让人觉得对于“积不出”函数的原函数，我们完全无能为力，无从下手。

为了解决以上三方面的问题，从替换定理[1]出发，本文先用Liouville第三定理[2]证明指数函数类的“积不出”函数，用欧拉公式和Liouville第四定理[2]证明三角函数类的“积不出”函数，用换元法和分部积分法给出更多的“积不出”函数，最后再给出寻找“积不出”函数的原函数的一些方法。

一、指数函数类“积不出”函数

参考文献：

[1]张从军.数学分析概要二十讲[M].合肥：安徽大学出版社，2000：93-94.

[2]J.Liouville，Menreire sar lintegrtino dune classe de funcations tran scrndandres，J.Reine Angew.Math. 1835，vol.12：93-118.

[3]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2008：201-205，216-217.