浅谈金融领域中的数学应用

王艺润

摘要：随着现代经济社会不断发展和成熟，现代金融理论的逐步发展并逐渐成熟起来，金融的理论的复杂程度日益加深。数学方法作为其中的理论基础在其应用中尤为重要，并且在日益深化的金融交流活动中诞生出了金融数学这一数学学科的分支。本文通过描述，简要介绍了数学在金融领域中的某些应用，及其具有的现实意义。

关键词：金融；金融数学；数学模型

一、引言

随着时代的发展，人类社会的经济交流逐步复杂起来，银行业、金融业日趋成熟，金融体系逐渐成熟并建立起一套独有的知识体系。虽然数学在金融领域应用十分广泛而深入，但是其与物理、化学、生物等自然科学相比，金融学的社会科学性质又让其对数学的应用有了独特的发展。在金融交易中的大量变化的不确定性因素、和对其有着复杂影响力的人为因素等，都使得这些金融学问题变得更加的错综复杂，这也使得数学在其中的应用变得独具特色。

在很长的一段时间内，在金融投资领域的理论研究都不被认可，只被认为是一种贬义的“赚钱的方式”，不被认为是科学的领域。直到美国经济学家哈里·M·马科维茨的研究成果被普遍认可，金融投资理论才被纳入到经济学的范畴。但是尽管如此，数学方法的在金融学中的应用仍是碎片化的，以数学思想和方法为主要应用手段，而没有形成系统的知识体系。

二、金融数学及其意义

当金融体系不断完善，世界经济的不断发展，以及现代数学的持续进步，数学思维与方法在金融中大量的应用同样使得其联系和地位愈加明显，金融数学这一交叉学科逐步形成。通过高等数学的思维方法和数学知识的灵活运用来对金融资产和其中的资产定价、投资决策、风险控制等诸多问题进行了深入的研究。

可以说金融是研究货币融通和资金活动的，而在这里面则存在着大量的数量关系，是确定的和可计算的。但是，金融活动同时也参杂着人类的主观活动在里面，同时具有不确定性，这就决定了数学方法在金融中的应用是极有必要的但同时又必须是灵活地。而数学的估算来帮助人们进行一定的估算与风险预计也是非常有必要的，证券、期货交易的过程更是运用到了大量的数据交换和定量分析与验证。这些都使得金融数学的存在有其现实意义。

三、数学模型在金融领域的应用典型

1.资产估价模型

众所周知资金是具有时间价值的。在不同的时间点和不同时期上的资金，其价值并不是一直不变的，在计算时不能简单的进行直接相加减或相比较。为解决这一问题，美国经济学家欧文·费雪在1986年时提出了这一观点，即资产的当前价值等于未来现金流量贴现值之和，成为资产估价模型建立的基础。

其中最简单的估价模型是复制公式。其数学表达式如下：

首先设一项投资在未来某时刻t的现金流量为C（t），它的贴现率为R（t），n是期数，总的现值为PV，那么则有

PV=∑ni=1C（t）[1+R（t）]-1

通过这一数学表达的计算，奠定了证券投资价值的资本化方法的基础，而且其表达形式可以根据不同的情况有不同的变化。并且在此基础上产生了贴现现金流模型（DCF），揭示了股票的内在价值，即它所有未来股息的贴现值之和：

P（t）=∑∞k=1D（t+k）（1+i）-（1+k）

其中，P（t）为时刻t时的股票价格，D（t+k） 为时刻t+k获得的股息，i为常数表示合适的贴现利率。

2.证券投资组合模型

2.1资产组合中的收益

可以设投资组合中证券价格为一个随即便令，那么其均值可以表示收益，可得投资组合中的预期收益E（rp ）是在这一投资组合中所有资产预期收益的简单加权的平均值，ri为第i种收益的预期，设x为资产投资占总投资的比例。则有

E（rp ）=E（xr1+xr2+…+xr3）= x1 E（r1）+x2 E（r2）+…+xn E（rn）

E（rp ）=∑ni=1x1 E（r1）

其中x1+x2+…+xn=1

2.2资产组合方差

由于我们可以把投资的风险可以被定义为实际的收益偏离预期收益的潜在可能性，此时可以用方差来表示，因为方差在数学上即表示随机变量对数学期望的离散程度。这一表达方式，可以被用作通过预期收益来评估投资风险的一种计算方法，用公式表达为

σ2p=E[rpv-E（rp ）]2

通过这一算是的求解，不仅可以预估最优的投资组合方法，而且还直观的指出了多方面投资可以更好的降低投资风险的事实，这也成为了风险投资的重要原则。

四、应用举例

例.如将一笔资金投入到三个不同的盈利基金中，即基金A、基金B、基金C。

不同的基金收入不同同时又与经济形势有关系。假设经济形势分为好、中、差三个级别，分别发生的概率为P1=0.2，P2=0.7，P3=0.1 。根据各基金的数据参考可得到不同级别状态下各基金的收益概率分布如下表，

好P1=0.2中P2=0.7差P3=0.1基金A113-3基金B64-1基金C102-2此时，我们该如何投资才能获得比较好的收入呢？

解：首先看三个基金的数学期望

E（A）=11×0.2+3×0.7+（-3）×0.1=4

E（B）=6×0.2+4×0.7+（-1） ×0.1=3.9

E（C）=10×0.2+2×0.7+（-2） ×0.1=3.9

方差：

D（A）=（11-4）2×0.2+（3-4）2×0.7+（-3-4）2×0.1=15.4

D（B）=（6-3.9）2×0.2+（4-3.9）2×0.7+（-1-3.9）2×0.1=3.29

D（C）=（10-3.2）2×0.2+（2-3.2）2×0.7+（-2-3.2）2×0.1=12.96

通过分析离散型随机变量的期望可知，投资基金A的平均收益最大。但投资的同时也要注意风险，这时通过对它们各自方差的分析，方差越大，风险的波动越大。这样比较看，基金B的风险最小，同时收益上又比基金A相差较小，所以选择基金B来投资更加合理。

五、总结

近年来，金融数学可谓是越来越受到经济、金融学界甚至很多其他社科领域的高度关注。并且国际上很多著名的金融数学家还发起组织了“金融学会”以利用国际交流继而推动数学理论在金融学上的应用。我国现在在大学课程中“金融数学、金融工程”等专业也受到追捧。但是可以看到现代金融学的理论研究与金融领域的现实实践中，数学起着必不可少的作用。金融学的研究也吸纳了很多数学领域的专家学者，与此同时金融学的发展也同样推动者数学的发展。由此可见，数学和金融的融会贯通，以及灵活的应用才是其发展之道。