函数的解题与应用

张煜恒

摘要：函数是数学中最基础、最核心的概念之一。函数是中学数学的核心课程，将数、式、方程、不等式等多个数学知识有机结合，可以说，函数的存在将原本相对分散的数学知识综合化，对数学思维的整合具有种重要意义。如今，对于函数课程基本从学生进入中学就开始，而在学习过程中，因为对于函数的接触较少，所以函数课程的学习质量相对较差。本文通过对当前函数分析，阐述了当前函数的解题思路和学习方式，揭示了函数的具体应用。

关键词：函数；解题；应用

学习的目的并不是单纯的知识汲取，而是一个思维培养的过程。无论是哪个学科，其实它都是一种思维方式的表现。数学学习是对我们逻辑思维的最佳培养方式。它充分涵盖了思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的敏捷性。函数作为高中数学的主要课程，是高中课程的主线。在函数学习中，定义域是最基本的构成要素之一，函数的定义域是解题的关键。所以，在函数解题思路里，需要正确认识到定义域的作用，正视其影响，对于数学逻辑思维的培养具有重要作用。

一、函数思想及其含义

函数思想也就是在函数的学习过程中，我们可能会建立的思维方式。通常来说，函数是用于描述自然界当中某一种量的依存关系，其主要反映一个事物随着另一个事物的变化而变化的规律与练习。函数的思想方法就是从一个事件当中去获取它的数学特征，然后用联系的变化的观点，对该数学特征进行抽象化，建立起某一种函数关系式，利用函数的性质去解决该关系式，进而解决该事物中出现的某些问题。函数体现的是“联系和变化”的辩证唯物主义思想。通常，函数思想都是说的构造函数，然后再利用构造函数进行解题，即：已知+未知+规定思想。其中已知被我们在教学过程中定义为定量，而未知被定义为变量，规定思想则是事物之间存在的某种已经被证实的客观规律，也就是教学中的函数性质。经常会接触到的函数性质是：f（x）、x的单调性、奇偶性、周期性、最大最小值等，要求我们必须熟悉掌握一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的特性。

函数的主旨是以无限为有限。在长期的函数思想运用中，人们发现，每当利用函数思想去解决问题后，都会将原本有限的公式扩大化，也就是用短小的式子去描述一个有着较多数据或者无限数据的事物。在这个过程中，变量是不定的，所以可以随时的变化，而在这个变化的过程中，就会产生不一样的结果。故此，笔者认为函数的思想可以表达为有无对等。也就是说，世界上的所有东西都可以利用函数式推导而来，也就是本来没有，但是规律具有无形创造力。

二、函数思想在解题中的应用

（一）方程问题

在具体的解题思路中，通常会将方程f（x）=0转换为y=f（x）中图像表达时，其与横向轴即x轴的焦点坐标。因此，可以利用函数的图形研究方程的实根问题，从而对方程问题进行解答。在实践中可以发现，任何一个方程式，都是可以被替换为函数式，再利用函数式呈象，进而根据变量的变化，来找出对应的答案，实现方程式的解答。这种方式比方程式更为便捷，其包涵量较大，在一个方程题目下，存在多种量的变化，采用该种方式可以有效的实现解答。

（二）不等式问题

不等式与函数的关系十分紧密，通常利用函数可以有效的表达不等式条件与结论之间的关系，从而得出不等式成立的条件。在高中数学中，不等式如果利用普通方式解答，很容易会出现漏答。随着我们对于数学的接触面变广，在数学的学习上，我们会接触到正数、负数，而在解题中，单纯依靠传统方式来解答不等式，很容易将其负数忽略，从而造成答案不全。而函数就不会存在该种问题，函数本身是一个区域的表达。

（三）最优化问题

所谓最优化问题，通常是对最大最小值的计算。在传统的解题思想中，要想实现最优化，得出最佳答案，就必须找到临界点。为了准确的找出临界点，通常会利用数学逻辑，进行代入计算。但是，该种方式的计算量较大，耗费时间。如果，将最优问题转化为函数解答，建立起一定的函数式，利用最大最小值的方式，就可以很直接的找出其最优值。也就是我们将函数式转化为图像，在图像中如果存在最值，就会很明显的看出，从而找出对应的变量，就解决了最佳问题。在函数中定义域的存在就是对问题的条件限制，在限制下才会出现最值。

（四）行程问题

行程问题无非是指在一定时间或者一定速度的限制下，行驶了多长的距离。传统的解决方式，也就是将时间、速度都找出来，然后根据时间与速度的乘积等于路程，得出对应的行程答案。但是，如果在解题中发现，时间和速度都没有具体值，要计算的也不是路程，而是行程安排，怎么样安排才能实现资源的集约化。这个时候，函数才是最佳解决方式，利用其内在规律，对各个量进行确定和计算，从而实现行程问题的解决。

三、讨论与建议

其实无论是任何问题，根据函数以有限为无限的原则，都可以对其进行解决。但是，由于当前阶段中函数的教学相对较浅，所以导致其实用性有所降低。为了提高函数的实用性，当前的学习中，教师需要注意函数与各个数学概念的转化，由于数学本来就具有逻辑相通性，所以，其很多概念都是可以用函数来表达，因此，加大学生的函数思维，提高其函数运用能力，有助于数学解题能力的提高，促进学习质量的提升。

参考文献：

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