高中数学课程要学会边学边悟

梅凯迪

摘 要：“读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻”，弗兰西斯·培根的话从儿时起，就印在脑海里，而随着年龄增长，我在人生的实践中才逐渐有所感悟。数学是一门基础学科，同时又是打开科学之门的金钥匙，我们从小就开始接触到它，它既培养数学思想，又锻炼思辨的能力。数学素养是21世纪每一位合格知识分子的基本素养，正是它让我们有了走进科学的大门的方法论，可以对自然万物仔细得推敲，从而了解规律、发现规律，世界也因此有趣了许多。笔者虽系高中在读学生，却在多年数学学习中总结出了自身的经验，借本文与广大读者分享。

关键词：高中教育；数学课程；边学边悟；思路及方法

1前言

材料科学中著名的屈服准则——屈雷斯加（Tresca）准则，是由法国工程师屈雷斯加于1864年提出。他指出，材料中的最大切应力达到某一定值时，该物体就发生屈服，从原来的完全弹性变形产生塑性变形。这是材料科学中研究材料受力和变形的一个重要规律，是判别物体变形性质的判别标准，其表达式为：

C即为材料能承受的最大切应力。将这样的应力状态画在应力空间中，会是一个什么样的空间体呢？（说明：材料中，只有三个主应力方向，σ1、σ2、σ3分别对应空间坐标系X，Y，Z轴方向，以上问题即转化成为：空间中的一个点集合，其中每个点的XYZ坐标中的任意两个只差的绝对值不能超过2C，求此空间体的形状是什么）。

2分析

根据上述对数学模型的描述可以得出，此空间体的边界一定是由沿XYZ方向有相同增量的空间线围成，即空间体对角线方向围成的三维图形。因此，可以转化为先分析较为简单的XY平面上围成的图形，进而推理三维空间中空间图形。空间体与平面相交平面（略）。

解法1（立体几何）：

同理∴与楞垂直的面截出的图形为正六边形，原三维体为正六棱柱。

解法2（解析几何）：

建立空间直角坐标系图（略）

两种解法的分析比较：

立体几何法，是我们高中常用的解决立体几何的办法，其对空间思维的考察较为明显。解答本题的过程里，首先用的思想是转换。将三维的屈服准则的数学表达式，直接转换为三维空间是非常不能直观想象出的，其涉及三个坐标之间的相互关系，三维图就很难直接画出，更不必说证明其形状了。因此，先将本问题由三维转换为二维考虑。考察XY平面内的屈服准则所描述的图形，下一步，再用题中给的关系，推断只要三维体的XY坐标都沿着截面上的图形同步增长，就不会有超越屈服条件的空间点。空间几何体的解答，想象其实是解题中必不可少的部分，也是解答此类问题的乐趣所在。然而随着数学知识的学习，其空间体复杂程度日渐增长，这时对于空间体的形状要有着极为清晰的认识和严密的推理才可能得出正确的答案。生活中的事情也是如此，比如工业4.0中强调的个性化制作，和3D打印或者机械加工中的零件越来越复杂，建立三维模型的时候，即使有很先进的软件，也需要有这种分步转换的思想才可完成。21世纪，我们对世界的认知越来越全面，人创造出的系统物品也越来越复杂，对于这种级别的复杂程度，若想全凭脑子一步想象全局，那如痴人说梦，可能再也不能实现了。而面临这样的世界，最好的办法可能就是一步步分解问题，转化问题，从而有条不紊地解决它。

3空间几何问题

空间几何题，画图准确一定是第一位的。“好记性，不如烂笔头”空间的线面关系的透视图，一定要画的真真切切，才为后面寻求解题思路铺平道路。然而有时候，所见并非实际。

所见并非事实的事情，在生活中比比皆是。1964年的一天，凯蒂吉诺维斯在下班返回公寓的途中，遭到一个持刀男人的恶意袭击。女孩大声呼救，袭击行为持续了35分钟，直到最后有人报了警。然而警察赶到，女孩已经停止了生命。此暴力悲剧事件共有38人目击了这一惨剧，然而只有一人报案，令全体美国人感到震惊。在此事件的回訪中，许多没有提供帮助的人，都认为这是情侣之间的吵架而没有介入其中。这令人扼腕的悲剧，居然是大家相信了眼前所见的，而并没有进行批判地、严密的分析其他的可能性酿成的。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，中国的古圣先贤早就教导过我们，应多角度地看待事物，才能识得庐山真面目，同时这也是在数学的见习中越发感受到的哲理。

4空间立体几何与解析几何法分析

空间立体几何，和解析立体几何的两种方法，在此题上的应用，可以明显看出，立體几何漂亮直观有空间美感。而解析法，虽然抽象，但步步有点坐标，直线方程，在数学上显得更加清晰明了。解法过程，空间法多数要靠着对立体几何大量训练的“直觉”，去想象空间关系，巧作辅助线，辅助面。

然而解析几何法，是流程化的操作，建立坐标系，确定点坐标，建立直线、面的表达式，其角度关系，距离关系，都可以用公式求出。看似不明显直观，但其蕴含在方程中的是精确的数学表达，最大的优势就是可解性，和可操作性。

解析几何方法虽然对于简单的几何问题，可能没有空间几何法简单，因为必不可少地要经历建立坐标系，求出方程表达式之类的过程。然而其流程化操作，确是当今计算机求解问题最擅长的部分。计算机并不怕麻烦，小时候的机器人编程大赛，整体看起来非常复杂的程序，可是完成命令的准确程度也大大令人满意，幸运的是，计算机的优势恰恰在于计算，所以麻烦一点对它并不是难事。

同时，此种方法对于我们高考解题，也不无借鉴意义。因为，高考是在限定的时间内要求高正确率的解题任务。对此，战术战略的考虑，就显得尤为重要。对于简单的问题，立体几何法容易解答的，应用其作答，可以为其他的题目争取到宝贵的思考时间。

5结论及建议

综上所述，“君子不器”，学好数学不仅是为了应付高考，或是为将来进一步学习相关专业打好基础，更重要的目的是接受数学思想、数学精神的熏陶，提高自身的思维品质和科学素养。高中数学对知识的难度、深度、广度要求更高，我们应当勤于思考，善于质疑，掌握数学思想方法，善于归纳总结规律，在思维的灵活性、可延伸性、创造性方面高标准要求自己。作为天之骄子的我们一定要志存高远，知难而进，活学活用，边疑边悟，果能如此，将终生受益。

（作者单位：郑州外国语学校高三19班）