高等数学解题中的逆向思维研究

铁勇

摘 要：逆向思维是大学生在学习若干专业课程中常见的一种思维方式。主要通过分析大学生求解高等数学问题的思维意识现状，详细探讨如何在求解高等数学的问题中培养逆向思维，为大学生学习高等数学提供一点学习方法的参考，以及为研究高等数学解题中的逆向思维研究提供一点理论依据。

关键词：高等数学；解题：逆向思维

1 引言

逆向思维亦称为求异思维，这种思维往往要求在正面分析遇到困难或是较为复杂的时候，从反面进行思考的一种思维方式。逆向思维打破了固有思维的思维定势，促使问题的解决朝着有利的方向发展。逆向思维反映了在解决问题过程中的间断性、突变性和反联结性。在数学解题中，如果能适时地熟练运用逆向思维探索解题思路，就能找到解题的捷径。本文通过分析大学生求解高等数学问题的思维意识现状，详细探讨如何运用逆向思维求解高等数學的问题，为大学生学习高等数学提供一点学习方法的参考，以及为研究高等数学解题中的逆向思维研究提供一点理论依据。

2 高等数学问题求解的思维意识现状

2.1 盲目模仿和照搬的模式

大学生学习高等数学往往更多的是为了通过获取必要的学分，在课堂教学中呈现出来的往往是照抄笔记和照搬运算或证明模式，至于问题的求解，主要的学习方式主要是基于模仿，不懂得变通。改变题型就不懂得解题方法。这样的模式对于高等数学的教学产生了阻碍的作用，以至于教与学脱钩，不利于教学质量的提高和学生对解题方法的理解。例如：可数集中有关无限集至少存在一个可数集的定理的证明是通过可数集的充要条件和不完全归纳法的运用解决的。但是对于其它的证明某集合是否可数的问题，学生往往就是简单的模仿，而不能很好地分析问题，抓住可数集的定义的本质去逆向思考类似的问题。

2.2 惯性思维对解题的影响

惯性思维是目前高校学生在学习高等数学时表现出来的一种常见的思维。惯性思维最大的弊端在于固定的思维模式和阻碍思维的发散。比如：一个定理的逆否定理等价于原有的定理。但是当证明定理的逆否定理时就无法想象原定理与之关系，这是惯性思维的症结。比如：当你知道在一元函数中必有连续不一定可导，而可导一定连续时，未必会探讨不连续是否一定不可导的问题，甚至把你否定理的论断与原定理放在一起讨论时都不知道二者之间的关系，更多的感觉是在教材中没有见过这样的定理或性质，这是一种典型的学教材知识带来的惯性思维，束缚了学生的思考问题的意识。

2.3教学模式对学生思维意识的影响

面对若干复杂难学的课程和晦涩难懂的知识，学生在解题中呈现出来的思维惰性，在一定程度上会受课堂教学模式的影响。比如： 在数列极限的课堂教学中，如果教师不借助于数列极限的几何意义反过来推导其数学定义，学生就不容易理解数列极限定义中的各个条件之间的关系。因此，教师的教学方式会影响学生在求解问题中的思维意识。

3 如何运用逆向思维求解高等数学的问题

3.1改变学习方式以培养逆向思维

针对不同的问题求解，学生在解题时需要全面合理地分析问题的条件与结论之间的关系。逆向思维最大的特点就是针对正向分析条件不得其解的问题，进行反向思考问题，即从结论入手，倒推题设条件；或者在正向推导问题的过程中遇到困惑，逆向思维倒推解决此过程的难点。这样的思维方式需要学生改变学习方式，即：在课堂教学中认真聆听教师的解题讲解，听的过程结合思考和理解，从而潜移默化地培养逆向思维。

3.2 改变教学模式以启发逆向思维

传统的教学模式和教材中的例题求解过程更多地偏重于正向分析问題而疏于逆向思维能力的培养.因此，我们在课堂教学中就必须改变教学模式，旨在加强学生逆向思维能力的培养与锻炼，提高学生分析问题的能力.比如：在讲解数列极限的问题时，可以引导学生从定义的结论入手，学会“要使什么成立，即证什么问题”的思考方式，结论中的不等式的推导，往往会得出N的取值，这时可以引导学生观察N的取值特点，加以分析和总结，这样能很好地启发学生的逆向思维，促进学生对数列极限定义与几何意义的理解。

3.3改变思维习惯以适应逆向思维

大学的教育以学生为本，学生的学习能力的提高体现出教学质量的不断优化。但是学生的学习能力表现在诸多方面的因素，其中改变思维习惯就是一种重要的学习能力。比如：做一道选择题，很多学生在草稿纸上的演算往往就像证明题和解答题一样，演算过程冗长且耗费了大量的时间，演算的结果还不能确定是否正确。这样的解题方式就呈现出一种不好的思维习惯的弊端。如果能利用特殊值代替一般值直接进行验证，或许会得到意想不到的效果，反而争取更多的时间去求解其它问题。这样就要求学生要重视改变思维习惯，在听课中或教师引导解题中适应逆向思维的求解方式。

3.4加强解题训练锻炼逆向思维

在课堂教学中，教师应该合理选择一些有启发性和适宜于逆向思考的问题，让学生独立思考，通过给学生一定时间的解答，引导学生正面分析问题，找出问题的症结。当正向解答不得其解时，概括这样解题的思路存在什么样的问题，为什么正向解答不能求解，从而促使学生从逆向分析问题，逐步利用结论和条件的关系解答出问题。经过几道题的训练，然后进行对比分析，加以总结和归纳。这样不仅获得了解题的技巧，而且有效锻炼了逆向思维。

参考文献：

[1]张乃达.数学思维教育学[M].南京：江苏教育出版社，1990：71-72.

[2]陈鼎兴.数学思维与方法——研究式教学[M].南京：东南大学出版社，2011：93-94.

（作者单位：曲靖师范学院 数学与统计学学院）